香草歐洲電話的二項式定價和蒙地卡羅模擬之間的分歧？
我注意到我自己的程式碼存在分歧，但即使在公共程式碼中也很明顯：
因此，為普通期權定價顯示了工具價值的巨大差異：
::: BinomialTreeEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1.)
14.770372341296639
::: MonteCarloEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1.)
15.790992991711446
::: MonteCarloEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1.)
15.708282373460175
::: MonteCarloEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1.)
16.329354195310856
::: BinomialTreeEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1., N=40)
14.797836571920467
::: MonteCarloEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1., N=150, pathCount=10000)
15.465674502595983
::: MonteCarloEuropeanCallPrice(50., 50., 0.065, 0.7, 1., N=150, pathCount=10000)
15.716431314886879
即使 sd ~ 40，蒙地卡羅的標準誤差也是 ~ 0.4，因此價格差異超過 2 se。MC收斂真的那麼慢嗎？還是步長太大導致向上偏差？
此選項的 Black-Scholes 價格約為 $ 14.8 $ . 當我執行蒙地卡羅模擬時 $ 10000 $ 路徑和“精確”時間步進，我得到的結果非常接近這個值。
您正在使用一階歐拉近似值在多個時間步長上模擬終端資產價格：
$$ S(t+\Delta t)= S(t) + rS(t)\Delta t + \sigma S(t)\sqrt{\Delta t}\xi, $$ 在哪裡 $ \xi \sim N(0,1). $
這將導致對高波動性（例如。 $ 70%). $
時間步長上幾何布朗運動的精確解是
$$ S(t+\Delta t)= S(t)\exp[(r-\sigma^2/2)\Delta t]\exp[\sigma\sqrt{\Delta t}\xi]. $$ 使用低階時間步進方案，您將引入向上偏差。要麼使用時間步長上的精確解，要麼使用 SDE 的高階數值方法，或者簡單地一步模擬終端資產價格，如下所示
$$ S(T)= S(0)\exp[(r-\sigma^2/2)T]\exp[\sigma\sqrt{T}\xi]. $$
您還可以在蒙特卡羅模擬中包含變異數減少技術，例如控制變數或對立變數。兩者都旨在減少您的模擬期權價格的可變性，並且在蒙特卡羅模擬中非常受歡迎。
http://en.wikipedia.org/wiki/Antithetic_variates
http://en.wikipedia.org/wiki/Control_variates
兩者都非常易於實現，尤其是對應於您的底層證券的第二條路徑的對立變數，其中隨機數與第一條路徑負相關。
對立變數通常工作得很好，應該會大大減少結果的可變性。控制變數取決於您的估值模型的設計和衍生品的收益結構。您也可以將兩者結合起來。
Glasserman 關於金融工程中的蒙地卡羅技術的書提供了一些極好的指導。