vol Smile 對 ITM 風險中性機率的影響
我在一次採訪中被問及 vol 微笑如何影響二元期權的價格，二元期權本質上是風險中性度量下的機率（ITM）。我的想法是使期權OTM的現貨隱含波動率很高，這意味著該區域的機率（ITM）更高，因此二元期權的價格。請糾正我或對我的想法進行更嚴格的擴展。
首先請注意，在任何模型中，二元看漲期權的價格與普通看漲期權的價格相關
$$ BinC(T,K) = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[1_{S_T>K}] = - \frac{\partial}{\partial K}e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T-K)+] = - \frac{\partial}{\partial K}C(T,K) $$ 現在，波動率微笑隱含定義為 $$ C(T,K) = C{BS}(T,K,\Sigma(T,K)) $$ 因此，通過減去導數 wrt $ K $ ，我們得到
$$ BinC(T,K) = BinC_{BS}(T,K,\Sigma) - \partial_\sigma C_{BS}(T,K,\Sigma )\partial_K\Sigma(T,K) $$ 換句話說，波動率微笑導致對二元看漲期權價格的修正項，即 BS vega 乘以偏斜。 相反，這個公式可以用來計算基於數字價格的偏斜。
要獲得不那麼正式的直覺，請將您的數字呼叫替換為小的呼叫傳播 $ \frac{1}{\Delta K}(C(T,K)-C(T,K+\Delta K)) $ . 在 BS 中，音量為 $ K+\Delta K $ 與 at 相同 $ K $ . 如果波動率隨著罷工（負偏斜）而降低，那麼波動率在 $ K+\Delta K $ 低於波動率 $ K $ . 因此，第二個看漲期權價值下降，而看漲期權價差的價值增加。由於數字只是呼叫傳播的極限，當 $ \Delta K \to 0 $ ，您會看到，當偏斜變得更負時，它的價格會上漲。