Bachelier 模型的 EMM
假設股票價格演變為 $ S_{t}=S_{0}+\mu t+\sigma B_{t} $ ， 在哪裡 $ S_{0}>0, \mu>0 $ 和過程 $ B_{t} $ 是布朗運動。
假設儲蓄賬戶為 $ \beta_{t}=e^{r t} $ , 與利率 $ r $
有罷工的看漲期權 $ K $ 和到期 $ T $ 支付 $ C_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+} $ 有時 $ T $ .
假設 r = 0。給出 EMM。
我的嘗試
當談到 EMM 時，我有點迷茫，但這就是我目前所擁有的：
- 吉爾薩諾夫定理：
$ B_{t} $ 是測量 P 下的 BM，C 是常數。那麼存在一個 EMM q 使得：
$ \hat{B}{t}=B{t}+C_{t} \sim Q $ 布朗運動。
$ d S_{t}=\mu d t+\sigma d B_{t} $
$ r=0 \quad c=\frac{\mu-r}{\sigma}=c=\frac{\mu}{\sigma} $
我不確定如何繼續並明確給出 EMM。
編輯：經過一些研究，我發現 Bachelier 模型確實存在 EMM，並且 Girsanov 定理是獨一無二的。但是我仍然對如何找到它有點迷茫。
在我看來，除了 Girsanov 定理如何定義 EMM 之外，您似乎了解所有內容。
吉爾薩諾夫定理告訴我們，如果 $ B_t $ 是標準布朗運動下 $ P $ ，然後對於任何適應的過程 $ \gamma_t $ （滿足一定條件）過程 $ \hat{B}_t $ 被定義為：
$$ \begin{equation} d\hat{B}_t = \gamma_t dt +dB_t \end{equation} $$ 是另一個等價測度下的布朗運動，而這個等價測度（我們稱之為 $ Q $ ) 可以由其 Radon-Nikodym 導數定義：
$$ \begin{equation} \frac{dQ_T}{dP} = \exp\bigg{ -\int_0^T \gamma^\top(s) dB_s - \frac{1}{2} \int_0^T \gamma^2(s) ds \bigg}. \end{equation} $$
現在，正如你已經註意到的，我在呼喚什麼 $ \gamma(t) $ 在我們的例子中應該等於 $ \frac{\mu - r}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} $ . 然後 $ d\hat{B}_t = \frac{\mu}{\sigma} dt +dB_t $ 我們有： $$ \begin{equation} dS_t = \sigma d\hat{B}_t \end{equation} $$ 如預期的。所以，我們的 EMM， $ Q = Q_T \sim P $ , 由 Radon-Nikodym 導數定義： $$ \begin{align} \frac{dQ_T}{dP} &= \exp\bigg{ -\int_0^T \frac{\mu}{\sigma} dB_s - \frac{1}{2} \int_0^T \frac{\mu^2}{\sigma^2} ds \bigg} \ &= \exp \Big{ -\frac{\mu}{\sigma}B_T - \frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2}T \Big} \end{align} $$