股票價格倒數的等價鞅測度（EMM）
我遇到了這個問題，說如何為普通看漲期權定價 $ C(St,t,T,K) = \frac{1}{S_T} $ 支付股票的倒數 $ V_{t} = \frac{1}{S_{t}} $ 到期時，如果股票價格遵循幾何布朗運動 $ dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dB_{s} $ ? 我嘗試使用風險中性度量方法，但是，我無法證明如果期權被無風險債券貼現，它就會變成鞅，即 $ \frac{V_{t}}{B_{0}e^{rt}} $ 沒有漂移項。這是一個正確的計價變化嗎？
讓 $ dB_t = rB_t dt $ . 現在
$$ \begin{equation} d\Big(\frac{1}{B_t S_t}\Big) = -\frac{dS_t}{B_t S_t^2} -\frac{dB_t}{B_t^2S_t} +\frac{2}{2}\frac{(dS_t)^2}{B_t S_t^3} = (-\mu-r+\sigma^2)\frac{1}{B_tS_t}dt-\sigma\frac{1}{B_tS_t} dW_t \end{equation} $$ 使用給出的 EMM $ dW_t = \frac{r-\mu}{\sigma}dt +dW_t^\mathbb{Q} $ 我們得到 $ \mathbb{Q} $ -動力學
$$ \begin{equation} d\Big(\frac{1}{B_t S_t}\Big) = (\sigma^2-2r)\frac{1}{B_tS_t}dt-\sigma\frac{1}{B_tS_t} dW_t^\mathbb{Q} \end{equation} $$ 這只是特殊情況下的鞅 $ 2r = \sigma^2 $ , 因此除非成立 $ V_t = \frac{1}{S_t} $ 不能是交易資產的價格。但或有債權的價格 $ V_T = \frac{1}{S_T} $ 在某個到期日 $ T $ 還是 $ e^{-r(T-t)}E^\mathbb{Q}\Big[\frac{1}{S_T}\Big|\mathcal{F_t}\Big] $ 這顯然是一個鞅。