期望 N(d2)？
我試圖找出風險中性定價下某些類型期權的定價方程。這是我得到的等式，但我不確定這是否可以解決。任何幫助表示讚賞。
$$ V = E[I{S(T_0) \geq B}N(d_2)] $$ $ t_0 < T_0 < T_1 $ 這是一個時間線
$$ I{S(T_0) \geq B} = \begin{cases} 1, & \text{if } S(T_0) \geq B \ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$ 在哪裡 $ S(t_0), S(T_0) $ 是不同時期的股票價格。
$ N(d_2) $ 是布萊克斯科爾斯 $ N(d_2) $ 但股票價格用於 $ N(d_2) $ 是 $ S(T_0) $ , 時間段為 $ T_1-T_0 $ . 所以 $ N(d_2) $ 在這種情況下，它本身就是一個隨機變數。
我試圖在時間找到期望 $ = t_0 $
$ d_2 = [ln(S(T_0)/K)+(r-0.5vol^2)(T_1-T_0)] / (vol* sqrt (T_1-T_0)) $
$ S(T_0) = S(t_0) exp((r-0.5vol^2)(T_0-t_0) + vol * sqrt(T_0-t_0)Z) $
Z~N(0,1)
您本質上對定價二階債券二元期權感興趣。在最一般的形式中，這份契約有一個時間 $ T_2 $ 的回報
$$ \begin{equation} \mathcal{B}{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S{T_1}, S_{T_2}, T_2 \right) = \mathrm{1} \left{ s_1 S_{T_1} > s_1 \xi_1 \right} \mathrm{1} \left{ s_2 S_{T_2} > s_2 \xi_2 \right}. \end{equation} $$ 在你的情況下，我們有 $ \xi_1 = B $ , $ s_1 = +1 $ , $ \xi_2 = K $ 和 $ s_2 = +1 $ . 時間 $ T_1 $ 該選項的值等於
$$ \begin{equation} \mathcal{B}{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S{T_1}, T_1 \right) = \mathrm{1} \left{ s_1 S_{T_1} > s_1 \xi_1 \right} e^{-r \left( T_2 - T_1 \right)} \mathbb{E} \left[ \left. \mathrm{1} \left{ s_2 S_{T_2} > s_2 \xi_2 \right} \right| S_{T_1} \right]. \end{equation} $$ 除了額外的折扣外，這與您的問題中的表達方式相同。
該合約是泛化多期多資產的特例 $ \mathbb{M} $ -Skipper 和 Buchen (2003) 分析的二元期權。是時候了 $ 0 \leq t < T_1 $ 值由下式給出
$$ \begin{equation} \mathcal{B}{\xi_1, \xi_2}^{s_1, s_2} \left( S_t, t \right) = e^{-r \tau_2} \mathcal{N}2 \left( \alpha{0, 1}, \alpha{0, 2}; \rho \right), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \tau_i = T_i - t $ ,
$$ \begin{equation} \alpha_{0, i} = \frac{s_i}{\sigma \sqrt{\tau_i}} \left( \ln \left( \frac{S}{\xi_i} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau_i \right) \end{equation} $$ 和
$$ \begin{equation} \rho = s_1 s_2 \sqrt{\frac{\tau_1}{\tau_2}}. \end{equation} $$ 這裡， $ \mathcal{N}_2 $ 是具有給定相關性的二元標準正態分佈函式。有關此結果的推導，請參見原始論文。你可以在博士論文的第 2 章中找到類似的結果。論文維加（2010）。另請參閱此相關問題和相應答案。
參考
Skipper、Max 和 Peter W. Buchen（2003 年）“The Quintessiential Option Pricing Formula”，工作論文，悉尼大學數學與統計學院，可線上獲取
Veiga, Carlos Manuel “衍生品的封閉公式和評級方案”，博士 論文，法蘭克福金融與管理學院，線上提供