擴展一個不完整的市場以產生一個完整的市場
我在問一個與我在調查不完整市場的特徵時在網站上看到的一些評論和答案相關的問題 $ - $ 例如，請參見 @AFK在市場不完整時如何選擇風險中性指標中的回答？.
假設我們有市場 $ \mathcal{M} $ 和 $ n $ 可交易資產 $ S \equiv (S^{(1)}, \cdots, S^{(n)}) $ 和 $ n+1 $ 風險來源，例如布朗運動 $ W \equiv (W^{(1)}, \cdots, W^{(n+1)}) $ $ - $ 例如資產高達 $ n-1 $ 可能遵循簡單的幾何布朗運動 (GBM)，而 $ n^{th} $ 資產具有類似赫斯頓的隨機波動動態。這個市場是不完整的，因為（可交易）資產的數量低於風險（來源）的數量。
現在，WLOG 讓我們將風險源同化為布朗運動，並讓 $ W^{(n+1)} $ 成為風險的“額外”來源。假設我們已經建立了市場模型來為衍生證券定價 $ f \equiv f(W^{(n+1)}) $ ，意味著衍生收益取決於風險源 $ W^{(n+1)} $ :
- 如果我們現在擴大我們的市場，讓我們稱之為 $ \mathcal{M}{+f} $ , 通過包括 $ f $ 作為可交易資產，則 $ \mathcal{M}{+f} $ 完全的？
- 是不是就這麼簡單：“通過包括 $ f $ ，資產的數量等於風險因素的數量，因此市場 $ \mathcal{M}_{+f} $ 是完整的“？
例如，如上所述，AFK 在他的回答中說：
單一風險資產的隨機波動率模型是不完整的，因為您有兩個隨機來源。但是您可以通過添加一個其價值取決於波動性的衍生工具來輕鬆完成它。例如，如果您在 Heston 模型中添加變異數交換，那麼它就變得完整了。
另一個例子是這篇文章，如何證明隨機波動率模型下的市場是不完整的？，見@pbr142 的回答 $ - $ 連結到提到的論文：
Marc Romano 和 Nizar Touzi 的論文第 3 節包含一個一般性證據，即隨機波動率模型不可能是完整的，因為期權的添加完成了由標的和無風險借貸。
我相信我已經在 Thomas Bjork 的著作《連續時間套利理論》第 122 頁（第三版）中找到了我的問題的確切答案：
元定理 8.3.1 讓 $ M $ 表示 模型中不包括無風險資產的標的**交易資產的數量** ，並讓 $ R $ 表示隨機源的數量。一般來說，我們有以下關係：
- 該模型無套利當且僅當 $ M \leq R $ .
- 模型是完備的當且僅當 $ M \geq R $ .
- 當且僅當該模型是完整且無套利的 $ M=R $ .