使用 Dupire 模型中的局部波動率尋找期權機率密度
這個問題與使用 dupire 局部波動率模型的定價不同，並且Dupire 的局部波動率模型路徑是否獨立於恢復歷史期權價格？
我還在 Math Stack Exchange 上問過這個問題，並意識到在這裡問會更好。
我一直在閱讀 Dupire 局部波動率模型。我已經找到了計算局部波動率的方法，因此對於我的問題，我們可以假設它是已知的。
更具體地說，它被認為是罷工和期限之間的分段常數，因此我有一個應該為所有時間和罷工定義的局部波動率表面。
從這裡我想知道如何考慮求解 Dupire 方程並恢復風險中性機率密度。我對隨機微分方程不是很熟悉，所以我希望我能得到幫助來解決這個問題。
我的嘗試
Dupire 方程的形式為 $ dS_t=μ_tS_tdt+σ(S_t,t)S_tdW_t $ 在哪裡 $ S_t $ 是當時的股價 $ t $ , $ μ_t $ 是漂移項， $ σ $ 是局部波動率和 $ W_t $ 是維納過程。此外， $ S_t|_{t=0}=S_0 $ .
為簡單起見，我一直在服用 $ μ_t=0 $ .
正是在這一點上，我一直對如何定義必要的約束來解決 Ito 積分感到困惑。
首先，我認為 $ S_0 $ 是衍生品標的物的現貨價格。如果我們解決這個 SDE，我們會發現現貨價格如何隨時間演變嗎？這對期權定價有何幫助？如果 $ S_0 $ 不是現貨價，而是什麼？它是具有給定行使價的期權的價格嗎 $ t=0 $ 然後我們正在解決跨時間罷工的期權價格？
如果是後者，我是否為我想查詢的每個遠期價格求解這個 SDE，並且只是讓我的波動率函式成為時間的函式？
一旦我為我的期權定價，我只是計劃對每個期限的執行權取價格的二階導數，以找到風險中性機率密度。對於這個問題，假設男高音和罷工足夠密集，以至於區分是有意義的。
我在第 1 講：Jim Gatheral 的隨機波動率和局部波動率中找到了所有這些資訊，http: //web.math.ku.dk/~rolf/teaching/ctff03/Gatheral.1.pdf
答案是 $ S_t $ 是一個隨機變數，其實現可以使用蒙特卡羅或數值方法求解。通過多次求解該值（例如，蒙特卡羅所做的），您可以找到給定時間標的價格分佈。這是因為該過程是隨機的，因此每個解決方案應該略有不同。有了這個隨機變數的足夠實現形成一個分佈，你就可以為期權定價，因為你只需要一個行使價和分佈來找到一個期權的價格（ $ C(t,K) = \int_{K}^\infty p_t(x)(x-K)dx $ )