（連續）罷工可重置美式期權的有限差分法
為簡單起見，讓我們考慮一個具有連續可重置執行價格的美式看漲/看跌期權。目前時間是 $ t=0 $ , 成熟度在 $ t=T $ , 初始罷工是 $ K_0 $ . 我們認為“可重置期” $ t\in [T_0, T]\subset [0, T] $ . 在這個可重置期間，如果股價曾經跌破 $ 80% $ （比方說）目前行權，然後行權重置，使期權變為 ATM。正式地，定義一個比率 $ a>0 $ 作為重置樓層（ $ a=80% $ 在上面的例子中），一系列停止時間 $ \tau_{1,2,\cdots} $ 表示可能的重置和一系列打擊 $ K_{0,1,2,…} $ 表示初始和重置罷工： $$ \begin{align} \tau_1 &:=\inf_{t>T_0}{t\le T\mid S_t\le aK_0},\quad K_1:=S_{\tau_1}I(\tau_1<\infty) + K_0I(\tau_1=\infty)\ \tau_2 &:=\inf_{t>\tau_1}{t\le T\mid S_t\le aK_1},\quad K_2:=S_{\tau_2}I(\tau_2<\infty)+K_1I(\tau_2=\infty)\ \end{align} $$ 等等。（但是，如果無限數量的重置機會太複雜而無法分析，我們可以將情況簡化為只有一個重置機會，即我們只考慮第一次重置時間 $ \tau_1 $ 和第一次重置罷工 $ K_1 $ .)
我想使用 FD 和 Crank-Nicolson 方案來解決這個問題。假設我已經知道所有的頂部/底部/終端邊界條件，剩下要做的就是及時回滾。對於正常美式期權，Crank-Nicolson 可以使用修改後的 SOR（連續過度鬆弛）輕鬆實現，請參閱 Paul Wilmott On Quantitative Finance第 78.9.2 節。基本思想是簡單地在每個被計算的節點上，將延續的值與立即執行的值進行比較，取較大者作為該節點的值。
但是現在，隨著罷工的持續可重置性，比較每個節點的值不再那麼簡單（至少在我看來）。有哪些可能的方法來規避這個困難？謝謝！
編輯：澄清一下，實際上可重置性通常是發行人或持有人的權利，而不是義務。但是，在某些情況下，可以確定如果雙方都是理性的，那麼當股價觸發某些條件時，一方（或雙方）行使權利將是最優的。因此，出於建模的目的，有時假設當滿足某些條件時，不僅允許發生復位，而且確實必鬚髮生復位，這已經足夠了。
您需要添加一個表示目前罷工的輔助狀態變數 $ K_t $ , 動態 $ K_{t} = K_{t^-} $ 如果 $ S_t > 0.8 K_{t^-} $ , $ K_{t} = S_t $ 如果 $ S_t \leq 0.8 K_{t^-} $ . 您將獲得一個帶有 2 個狀態變數的跳轉/PDE，然後您可以求解。有人稱其為“1.5”PDE，因為第二個狀態變數的更新僅取決於第一個狀態變數。