對於定價，哪些類型的外來期權適合使用局部波動率模型或隨機波動率模型？
我知道當奇異期權收益取決於波動率（例如變異數掉期和波動率掉期）時，應該使用隨機波動率模型。
當奇異期權具有前向起始特徵時（例如帶有 cliquet 期權），也應使用隨機波動率模型。有人可以解釋為什麼我們應該將隨機波動率模型用於遠期啟動期權嗎？
此外，給定一個奇異期權，您將如何決定是使用局部波動率還是隨機波動率模型對其定價？
每當您使用任何模型為任何東西定價時，您需要做的就是確保您對您定價的產品實際依賴的潛在動態進行建模。
任何產品都會在不同程度上依賴於許多方面——建模任何東西都是一樣的。
金融衍生品定價中發生的建模是對可能結果空間的整合，即計算期望值。現在，期望的一個關鍵方面是線性——也就是說，如果我們有 $ \mathrm{E}[f(X)] $ 在哪裡 $ f(X) $ 是一個線性函式（即 $ f(X) = mX + c $ ） 然後 $ f(\mathrm{E}[X]) $ - 也就是說，我們實際上並不關心變數的分佈 $ X $ ，只有它的意思。
為什麼這很重要？好吧，如果您的產品並不真正依賴於某個變數，那麼我們可以說它是近似線性的，並且我們不必正確地對其動態建模，因為我們只關心底層證券的預期值。
現在，將這與您的問題聯繫起來，假設我們有一個產品，它取決於底層證券的波動率分佈——例如一個關於已實現波動率的期權，讓我們考慮一下波動率的分佈情況當地捲。和隨機。卷型號：
- local vol：在這裡，每條模擬路徑都會從其初始價格隨機移動到某個未來價格，每個時間步的波動率將由局部波動率函式確定性地確定。它將有一些隨機分佈，來自局部波動率表面的現貨過程的隨機變化 - 我們不能保證它會是波動率的正確分佈。此外，局部波動率表面往往會在更長的期限內變平，因此波動率的波動率將收斂到零——這顯然是錯誤的。
- 一顆。然而，vol 過程有一個額外的波動過程，遵循其自身的動態（由所選模型控制） - 應選擇這些動態以正確建模（/近似）波動的動態，以便路徑的實際波動準確表示底層證券的驅動波動性。
現在使用您問題中的cliquet進行另一種解釋，以及一些相當隨意的解釋：
- 局部波動是瞬時波動，取決於過程發生的地點和時間點。
- 要創建術語波動率表面（即重新創建用於創建它的 black scholes vol 表面/期權價格），我們基本上必須整合已實現的波動率 $ S=S_0, t=t_0 $ 取決於 $ S=K, t=\tau $ ，其中集成是從開始到結束的所有可能路徑，由該路徑發生的機率加權（這實際上不是所做的，但它是一個有用的類比）。
- 如果我們想從未來某個時間獲得局部波動隱含波動率表面，條件是 $ S=K_0 $ ，那麼我們需要對 vol 表面上的所有點進行上述積分（實際上，您所做的是從 $ S=K_0, t=\tau $ 然後在一些網格上擴散底層和價格選項以重建表面）。
- 正如我們上面提到的，對於較大的男高音，局部 vol 表面往往會變平。這樣做的結果是，當您在未來創建假設的 vol 曲面時，它比預期的要平坦得多，因此偏斜會收斂到零。這意味著您以 90% atm 買入期權，在負偏度的標的（即大多數股票/股票指數）上的類似 cliquet 將被低估，因為下行的條件隱含波動率將被低估，低估所有fwd 啟動選項*。
- 即使對於 atm cliquets，期權也會被低估，因為它們有點依賴於凸度/峰度 - 但效果不如 otm 期權那麼明顯。
stoch vol 模型的屬性之一是當您計算條件 vol 時。將來，它們仍然會產生偏差，這意味著您不會習慣性地錯誤定價 cliquet 中的所有 fwd 啟動選項。
關於“我什麼時候使用模型 X，什麼時候使用模型 Y？”這個問題的主題。答案是“如果您還不知道要使用哪個，請同時定價。如果您得到不同的答案，請嘗試了解原因”。