遠期隱含波動率
僅使用普通期權可以準確定價一種主要對遠期波動率敏感/敏感的衍生品嗎？
如果不可能，為什麼我們有時會聽到“做多長期跨式期權，做空短期跨式期權”會暴露於遠期波動率？
這裡有些例子 ：
a) 在股票市場：
- pricing a volatility swap starting in 1y and expiring 1y later. - pricing a forward starting option with the strike determined in 1y as 100% of the spot and expiring in 5y.b) 在利率市場中：（FVA 互換期權）1y5y5y Swaption，即 6y5y 互換期權，行使價在 1y 確定。
在股票世界中，表達問題的一種方式是：如果我們使用足夠豐富的模型，例如隨機局部波動率模型 (SLV)，其中模型的局部組件在原版上進行校準（因此任何原版的價格都是獨一無二的，無論隨機部分的選擇）。無論隨機成分選擇如何，我們的模型是否會為上述工具提供獨特的價格？
從股票的角度來看，在我看來，有兩個概念不應混淆，上下文應該使區別不言自明：
- 遠期變異數掉期波動率 (A)
- 遠期隱含波動率微笑 (B)
我真的推薦閱讀 Bergomi 的《隨機波動率建模》，這是一本適合股票從業者的優秀書籍。您提到的主題進行了大量的詳細討論。
為了提供更多的理論見解，在接下來的內容中，我將假設底層遵循純粹的擴散過程（即沒有跳躍）。我還將考慮兩種類型的工具：
- 到期支付的 理想化變異數掉期
$$ \phi_{VS}(T) = A ,,\underbrace{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\right)^2}{\text{realised $\delta t = T/N$ returns variance}} - \underbrace{\hat{\sigma}^2}{\text{VS variance}} $$ 在哪裡 $ t_0 = 0 < \dots < t_i < \dots < t_N = T $ 代表地平線的劃分 $ [0,T] $ , $ A = N/T $ 是一個年化因子，理想化的意思是 $ N \to \infty $ 這樣，在整個範圍內的已實現收益變異數可以被對數價格過程的二次變化所取代 $ [0,T] $ 這樣 $$ \phi_{VS}(T) = \frac{1}{T}\langle \ln S \rangle_T - \hat{\sigma}^2_T $$ 由於變異數互換是在開始時以零成本輸入的，我們有 $$ \begin{align} \hat{\sigma}^2_T &= \frac{1}{T} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \langle \ln S \rangle_T \right] \ &= -\frac{2}{T} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \ln\left( \frac{S_T}{F_T} \right) \right] \tag{1} \end{align} $$ 例如，請參閱Gordon 的這個出色的回答。 2. 前向啟動選項，例如支付前向啟動呼叫：
$$ \phi_{FS}(T=T_2) = \left( \frac{S_{T_2}/F_{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ $$ 對於遠期開始日期 $ T_1 $ 和男高音 $ \tau = T_2-T_1 $ 有固定貨幣 $ k $ . 為了說明我的觀點，我將進一步考慮一個均勻擴散模型，這樣我們可以連續將遠期開始期權的價格寫為 $$ \begin{align} V(k,T_1,T_2) &= \Bbb{E}0^\Bbb{Q}\left[ \left( \frac{S{T_2}/F_{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ \right] \ &= \Bbb{E}0^\Bbb{Q}\left[ \Bbb{E}1^\Bbb{Q}\left[ \left( \frac{S{T_2}/F{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ \right] \right] \ &= \Bbb{E}0^\Bbb{Q}\left[ \frac{F{T_1}}{S_{T_1} F_{T_2}} C\left( S_{T_1}, K=k S_{T_1} \frac{F_{T_2}}{F_{T_1}} , \tau=T_2-T_1; \hat{\sigma}^{T_1T_2}k \right) \right] \ &= \frac{F{T_1}}{F_{T_2}} \Bbb{E}0^\Bbb{Q}\left[ C\left(1, K=k \frac{F{T_2}}{F_{T_1}} , \tau=T_2-T_1; \hat{\sigma}^{T_1 T_2}_k \right) \right] \tag{2} \end{align} $$ 我們定義的地方 $ \hat{\sigma}^{T_1T_2}_k $ 作為未來隱含波動率 $ T_1 $ 男高音選項 $ T_2-T_1 $ 和金錢 $ k $ .
正如您可能已經猜到的那樣，我在開頭介紹的兩個“遠期波動率”概念（A）和（B）與前兩種工具相關，如下所示：
- 遠期 VS 波動率 $ T_1 $ 男高音 $ T_2-T_1 $ ，我將用 $ \hat{\sigma}_{T_1 T_2} $ , 可以定義為
$$ \hat{\sigma}{T_1 T_2}^2 = \frac{1}{T_2-T_1} \Bbb{E}0^\Bbb{Q}\left[ \int{T_1}^{T_2} d\langle \ln S \rangle_t \right] = \frac{T_2 \hat{\sigma}{T_2}^2 - T_1 \hat{\sigma}_{T_1}^2}{T_2-T_1} $$ 如您所見，這相當於在新開始 VS 到期的日曆價差中進行交易 $ (T_1,T_2) $ . 按照公式 $ (1) $ , 這些新開始 VS 的價格只取決於無條件分配 $ S_t $ 在 $ t = T_1 $ 和 $ t=T_2 $ . 通過 Breeden-Litzenberger 恆等式，這意味著只要您知道（或有一個模型校準為完美匹配）所有到期的香草的價格 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 那麼遠期 VS 將被明確定價。因此，在我所做的建模假設（純擴散 + 理想化變異數互換）下，完美校準到普通市場的 LV 和 SV 模型將為這些工具產生相同的價格。 2. 按照公式 $ (2) $ 您會看到，對於遠期開始期權，期權的真正基礎不是“股票”本身，而是未來的隱含波動率 $ \sigma_k^{T_1 T_2} $ ，一個根本沒有在歐洲香草選項中編碼的資訊。因此，遠期隱含波動率 $ \sigma_k^{T_1 T_2} $ 通常無法從現在流行的香草微笑中確定。的動態 $ \sigma_k^{T_1 T_2} $ 是相當“嵌入”在模型中的（或者等效地是您願意用作 Attack68 在他的回答中提到的假設）。這意味著一個 LV 和一個 SV lodel 都完美地校準到普通市場通常會產生不同的隱含波動率動態，因此不同的遠期開始期權價格。
一些補充說明：
- 在您描述的 LSV 模型中，您通常會設置 SV 層的參數以調整模型的動態（即條件分佈）併校準 LV 層以確保模型的靜態與現在一致 -普遍的微笑（即無條件分配）。至少這是一個易於處理的 LSV 模型應該允許你做的事情。所以答案是否定的，如果您的唯一目標是將模型校準到普通市場，那麼遠期啟動期權的價格肯定不會是唯一的，因為有無數種方法可以做到這一點。
- 你提到的跨式的日曆價差類似於變異數掉期的日曆價差，因為它的價格將明確地由基礎的無條件分佈決定（它是歐洲普通工具的日曆價差）。所以是的，它讓你接觸到你可以稱之為“前向卷”的東西，但它更類似於上面的“前向 VS 卷”，而不是前向啟動選項。
這是可能的，是的，但它需要假設。但是，從哲學上講，任何工具的所有定價都是如此。例如，僅給定 6Y 和 7Y IRS 的價格，您能否正確定價 6.5Y IRS 利率？嗯，是的，你可以，但這取決於你對插值的假設，這是一個主觀的選擇。
讓我們具體看看您的交換問題：
可以為 5Y5Y vol 1Y 遠期定價嗎，表示 $ \sigma^{5Y5Y_1Y} $ ?
組成部分 1：遠期波動率
我需要為這種遠期波動定價的兩個組成部分是：
- 6Y5Y vol (6y expiry 5y swap),
- 1Y5Y5Y vol（1y 到期 5Y5Y 掉期）。
- 建模假設。
您現在有了一個框架，可以通過對市場走勢的假設進行建模，在數學上將其等同起來。例如，如果您使用市場走勢的正態分佈進行建模，則所得公式相當通用：
$$ \sigma^{5Y5Y_1Y} = \sqrt{\frac{6(\sigma^{6Y5Y})^2-1(\sigma^{1Y5Y5Y})^2}{6-1}} $$
從圖形上看，您有：
+-------------------------+------------------+ | 6Y EXPIRY | 5Y SWAP | = Benchmark price +-------------------------+------------------+ | 1Y EXP. | 5Y FWD | 5Y SWAP | = Composit price +-------------------------+------------------+ | 1Y FWD | 5Y EXPIRY | 5Y SWAP | = Implied, required price. +-------------------------+------------------+組成部分 2：遠期的波動性，即中曲線
您會觀察到上面使用了 1Y5Y5Y 上的 vol 資訊。但是，這並不作為基準產品存在。事實上，它甚至不是普通交易掉期。
要計算此價格，您需要以下資訊：
- 1Y5Y vol (1y expiry 5y swap)
- 1Y10Y vol (1y expiry 10y swap)
- 明年上述利率之間的預期相關性。
- 對所有情景建模的增量和折扣因子變化的一些建模假設。
從圖形上看，您有：
+-------------------------+ | 1Y EXP. | 5Y SWAP | = Benchmark price +-------------------------+------------------+ | 1Y EXP. | 10Y SWAP | = Benchmark price +-------------------------+------------------+ | 1Y EXP. | 5Y FWD | 5Y SWAP | = Composit Price +-------------------------+------------------+有時可以從對曲線價差期權定價的奇異掉期期權市場推斷出相關性成分，例如對 5s10s 曲線的看漲期權。
結論
我開始這個答案*是有可能的，是的，*但是鑑於復雜性，我可以理解為什麼很多人只是說不，因為準確性的差異，受所有模型假設的影響，導致對價格的信心水平低遠從 6 年和 7 年 IRS 價格定價 6.5 年掉期的信心。
至於交易風險敞口特別是這個組件，我不知道答案，但我嚴重懷疑這是可能的，以免它非常複雜，需要一些昂貴的機械過程，不斷對沖異國風險敞口的變化。
參考：
在 Darbyshire：定價和交易利率衍生品中對此材料進行了更好的解釋和更清晰。