遠期開始點差期權
問題： 我們有一個帶收益的點差期權： $ \max (P_{T} - HR\times G_T, 0) $ ， 在哪裡 $ P $ , $ G $ 是基礎價格和 $ HR $ 是一個常數。
零時僅合約 $ G $ 可用於交易。契約 $ P $ 只會在 $ 0 < t_1 < T $ .
假設聯合對數正態性，合約的（即基於風險中性預期的最優）價格是多少。
我有點困惑從哪裡開始這個問題。除非我不正確，否則在我們為契約定價之前是否需要考慮不同的情況？任何建議，將不勝感激。
在 $ t_1 $ ，這種收益可以使用用於為交換期權定價的 Margrabe 公式定價。
在此處查看 Margrabe 公式
使用問題中的符號和使用上述超連結文件的符號 -
$ Price_{t_1} = P_{t_1}e^{(\mu_P-r)\tau}\Phi(d_+) -HR \times G_{t_1}e^{(\mu_G-r)\tau}\Phi(d_-) \tag{1} $
$ Price_0 $ 是貼現值 $ Price_{t_1} $ 使用折扣因子 $ e^{-rt_1} $
$ P_{t_1} $ 假定在某個時間是已知的 $ 0 $ - 例如 $ P $ 開始交易 $ t_1 $ 在標準桿上，這樣我們就知道 $ P_{t_1} = 100 $ . 否則 $ P_{t_1} $ 需要通過其他方式估計。
所以，我們剩下的唯一未知數 $ (1) $ 是 $ G_{t_1} $ .
$ G_{t_1} $ 是隨機的 $ t_1 $ 但它的分佈是已知的。
因此，蠻力方法將是找到期望 $ Price_{t_1} $ 通過數值積分 $ (1) $ 在已知的機率分佈上 $ G_{t_1} $ （對數正態分佈）。
$ Price_0 = e^{-rt_1}\mathbf{E}(Price_{t_1}) $
$ Price_0 = e^{-rt_1}\int_{-\infty}^{+\infty}Price_{t_1}pdf(G_{t_1}(x))dx $