歐式看跌期權的傅里葉變換
在書中數學金融的概念和實踐，在說明隨機波動率模型的背景下，傅里葉變換 $ \hat{P}(\xi, V, T) $ 歐式看跌期權 $ P(x, V, T) $ 被列為
$$ \hat{P}(\xi, V, T) = - \frac{K^{i \xi + 1}}{\xi^2 - i \xi} $$
在哪裡 $ x = \log S $ 是現實世界標的股票價值的對數 $ S $ , $ \xi $ 相應的傅立葉變數， $ V $ 是平方卷， $ T $ 時間成熟度， $ i $ 虛數單位。我對傅里葉積分的發展，使用 $ K - e^x $ 作為看跌期權的支付，導致不同的結果：
$$ \hat{P}(\xi, V, T) = \int e^{i \xi x} ( K - e^x ) dx =\ \frac{K}{i \xi} e^{i \xi x} - \frac{1}{1 + i \xi} e^{(1 + i \xi) x} = e^{i \xi x} \frac{K + i \xi (K - e^x)}{i \xi - \xi^2} $$
我哪裡出錯了？如何達到出書結果？
廣義傅里葉變換 $ \hat{P}(z) $ 看跌期權的收益 $ P(x)=\max{e^k-e^x,0} $ 是 $$ \begin{align*} \hat{P}(z) &= \int_{-\infty}^\infty e^{izx} \left( e^k - e^x \right)^+ \mathrm{d}x \ &= \int_{-\infty}^k \left( e^ke^{izx}-e^{i(z-i)x} \right)\mathrm{d}x \ &= \left[ e^k\frac{e^{izx}}{iz} -\frac{e^{i(z-i)x}}{i(z-i)} \right]{-\infty}^k \ &= \left( e^k\frac{e^{izk}}{iz} - \frac{e^{i(z-i)k}}{i(z-i)} \right)-0\ &= \frac{e^{i(z-i)k}}{iz} - \frac{e^{i(z-i)k}}{i(z-i)} \ &= -\frac{e^{ik(z-i)}}{z(z-i)}. \end{align*} $$ 上述計算僅在以下情況下才有效 $ x=-\infty $ 確實等於零。一般來說，如果 $ z\in\mathbb{R} $ , $ \lim\limits{x\to-\infty}e^{ixz} $ 沒有意義，因為 $ e^{izx} $ 僅描述圍繞原點的單位圓上的點。然而，如果 $ z=a+ib $ 很複雜， $ e^{izx}=e^{-bx} e^{iax} $ 至少收斂到零 $ x\to-\infty $ 如果 $ b=\text{Im}(z)<0 $ 因為它將單位圓收縮到原點。等效地， $ \lim\limits_{x\to-\infty} |e^{izx}|=\lim\limits_{x\to-\infty} e^{-bx}=0 $ 如果 $ b=\text{Im}(z)<0 $ .
因此，我們要求 $ \text{Im}(z)<0 $ 對於第一個和 $ \text{Im}(z-i)<0 $ 對於後者。這兩種情況共同導致 $ \text{Im}(z)<0 $ . 因此，廣義傅里葉變換 $ \hat{P}(z) $ 僅在開放地帶明確定義 $ \mathcal{S}_P={z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)<0} $ .
看漲期權的規則條是 $ \mathcal{S}_C={z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>1} $ .
**注意：**擁有並非巧合 $ i $ 和 $ 0 $ 作為支付變換的極點。您可以使用反演定理來查看它們與 $ N(d_1) $ 和 $ N(d_2) $ （或更一般的鍛煉機率）。