前向啟動期權定價
考慮一個機率過濾空間 $ (\Omega, \mathcal F, \mathbb F, \mathbb P) $ ， 在哪裡 $ \mathbb F = (\mathcal F_t)_{0\leq t\leq T} $ 滿足習慣性條件並由 $ 1 d $ - 布朗運動（與 $ \mathcal F_T = \mathcal F $ ).
另外，考慮一個利率為零的金融市場， $ r=0 $ ，以及風險資產的動態 $ S $ 是（誰）給的
$$ S_t= S_0 + \int_0^t \mu_s ~ds +\int_0^t \sigma_s ~dW_s \quad , t \geq 0 $$ 在哪裡 $ t \in [0,T] \mapsto \mu_t $ 和 $ t \in [0,T] \mapsto \sigma_t \geq 0 $ 是確定性和連續性的函式。
假設有一個度量 $ \mathbb Q \sim \mathbb P $ 和一個 $ \mathbb Q $ -布朗運動 $ W^{\mathbb Q} $ 這樣
$$ S_t= S_0+\int_0^t \sigma_s ~dW_s^{\mathbb Q}\quad , t \leq T $$ 我們想要評估和對沖一個遠期啟動期權，其收益為 $ (S_T-\kappa S_1)^+ $ 在哪裡 $ \kappa >0 $ （我們假設 T>1）。讓我們承認它可以完美對沖，讓我們注意
$$ p(t,x) := \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ (S_T-\kappa S_1)^+ | S_t=x \right] \quad \text{for} \ (t,x) \in [0,1]\times(0,\infty) $$ 顯示
$$ p(t,x) = x F(1,\kappa, \int_0^T \sigma_s ^2 ds) \quad \text{if} \ t\in [0,1] $$ 其中，對於 $ y, K, \gamma^2 >0 $
$$ F(y,K,\gamma^2) = \mathbb E \left [ (ye^Y -K)^+ \right] \quad \text{with} \ Y \sim \mathcal N(-\gamma^2/2, \gamma^2) $$ 我會很感激任何建議。提前致謝。
注意
$$ \begin{align} p(t,x) &:= \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ S_1 (S_T/ S_1-\kappa)^+ | S_t=x \right] \&= x \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ (S_T/x-\kappa )^+ | X_t=x \right] \end{align} $$ 對全部 $ t<1 $ 和 $ x \in (0, +\infty) $ ， 自從 $ S $ 是一個 $ \mathbb Q $ -鞅。現在，如果我們包括附加條件 $ \sigma $ 那 $ \sigma_t := \tilde\sigma(S_t) ~S_t $ , 我們可以得出結論
$$ \begin{align} p(t,x) &= x F(1,\kappa, \int_1^T \tilde\sigma(S_s)^2 ds), \end{align} $$ 在哪裡 $ F $ 被定義為問題但在 $ \mathbb Q $ 並且不低於 $ \mathbb P $ 正如它所說。