期權價格的高斯 copula 校準
我有一個“異國情調”的選項，它是兩個利率的函式（比如 3m Libor 在 1y 到期和 2y 到期）。我假設兩個利率都遵循 sabr 模型（已經校準到香草），所以我已經完全定義了兩個邊際。該期權的價格在市場上是可觀察的。我假設高斯 copula 來模擬兩個速率的依賴關係。因此，唯一需要估計的參數就是相關性。
我如何校準這個 copula 到市場價格，即我如何估計相關性？我隱約知道這將涉及迭代求解高斯 copula 的雙積分以匹配市場價格，但我不知道如何獲得積分的極限以及如何從 copula 轉到期權價格。
如果它有助於解釋，請隨意假設一個合理的期權回報。感謝這位係詞初學者的任何指示。
您沒有提及，但我認為您還需要包括折扣因素 $ D $ 當時 $ T $ 作為第三個變數的期權的到期日。將兩個利率表示為 $ r $ 和 $ s $ 以及您期權的支付功能為 $ f=f(r,s). $
那麼你的期權價格就是貼現現金流的預期： $$ \text{price }=\mathbb{E}[f(r,s)D] $$根據您的定價標準。將定價度量的密度函式表示為 $ \phi $ . 因為它是三個危險因素的聯合密度 $ \phi=\phi(r,s,D) $ . 我假設該度量，因此也支持密度 $ \mathbb{R}^3. $
然後$$ \mathbb{E}[f(r,s)D] = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(r,s)D, \phi(r,s,D) ,d r,d s,d D. $$
到目前為止，這幾乎是完全通用的。要介紹您的 copula 假設，您需要根據邊際密度和 copula 密度來編寫聯合密度。一般來說，密度可以寫成： $$ \phi(r,s,D)=m_1(r)m_2(s)m_3(D)*c(r,s,D) $$ 在哪裡 $ m_i $ 是邊際和 $ c $ 是 copula 密度（例如，參見關於相關風險的精算理論中的命題 4.2.14 ）。綜合起來你的價格是三重積分 $$ \text{price }= \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(r,s)D, m_1(r)m_2(s)m_3(D)*c(r,s,D) ,d r,d s,d D. $$
請注意，這個高斯 copula $ c $ 需要三個相關參數，而不僅僅是一個！