當漂移係數是股票價格的函式時的 Girsanov 變換
我正在學習一本基本的隨機微積分教科書。我遇到了以下問題之一：
Bachelier 型股票價格動態。讓 SDE 獲取股票價格 $ S $ 由 $ dS(t) = \mu dt + \sigma dB(t) $ ， 在哪裡 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 是恆定的。導出 SDE $ S $ 以貨幣市場賬戶為計價單位。
我解釋如下：他們想要 $ dS^* $ ， 在哪裡 $ S^* = S e^{-rt} $ ， 在哪裡 $ r $ 是市場利率。應用我得出的隨機差異的通正常則：
$ dS^* = (\mu e^{-rt} - r S^*) \ dt + \sigma dB $
或者
$ dS^* = (\mu - r S) e^{-rt} dt + \sigma dB $
然後通過合適的 Girsanov 變換將其轉換為鞅，並指定 Radon-Nikodym 導數的表達式。
在這裡，我不確定如何進行。非常感謝幫助。到目前為止，我嘗試的是定義一個取決於股票價格但不一致/最終沒有意義的新布朗主義者。
我之前的工作要麼有每個學期的股票價格（以便可以取出），要麼根本沒有。剩下的問題，如果它在下面有幫助：
此後推導出未貼現股票價格的 SDE 並求解該 SDE。最後，使用這個最新的股票價格，得出 max 的期望值
$$ S(T ) − K, 0 $$其中 K 是一個常數。
你忘記了 $ e^{-rt} $ 擴散中的術語： $$ dS^=-rS^dt+e^{-rt}dS=(\mu e^{-rt}-rS^)dt+e^{-rt}\sigma B^\mathbb{P}(t) $$ 使用 Girsanov 我們可以寫 $ B^\mathbb{P}(t)=B^\mathbb{Q}(t)+\phi(t)dt $ ， 在哪裡 $ \phi(t) $ 是 Girsanov 核，上標表示布朗運動的度量。在下面 $ \mathbb{Q} $ 動力學是 $$ dS^=(\mu e^{-rt}-rS^*)dt+e^{-rt}\sigma (B^\mathbb{Q}(t)+\phi(t)dt)=e^{-rt}(\mu-rS+\sigma\phi(t))dt+e^{-rt}\sigma B^\mathbb{Q}(t) $$ 我們知道，如果折扣價格過程是鞅，漂移必須為零 $ \mathbb{Q} $ ， 這樣 $ e^{-rt}>0 $ $$ \mu-rS+\sigma\phi(t)=0\quad\iff\quad \phi(t)=\frac{rS-\mu}{\sigma} $$ 這取決於股票價格本身，因此要找到 Radon-Nikodym 導數並不直接（如在 Girsanov 核為常數的 Black-Scholes 中）。 $$ S(t)=S(0)+\int_0^t dS(u)=S(0)+\mu t+\sigma W(t) $$ 這好像是 $ S $ 從 0 開始，因為這不是原始 SDE 的一部分，所以 $ S(0)=0 $ . Radon-Nikodym 導數由下式給出 $$ L(t)=\exp\left(\int_0^t \phi(u)dW(u)-\frac{1}{2}\int_0^t(\phi(u))^2du\right) $$ 和 $ \phi(u)=\frac{r\mu u+r\sigma W(u)-\mu}{\sigma} $ . 計算上面的積分肯定是可以的，但是會很繁瑣。可能有一種簡單的方法可以使用一些技巧來計算兩個積分，但是表達式的複雜性也可能是由於我這邊的錯誤:)
最後一個問題可以通過分佈來回答 $ S $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 這取決於 Girsanov 核心。