對沖障礙期權
考慮股價的布萊克斯科爾斯動態
$$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t dW_t $$ 我已經“聽說”如果股票價格接近障礙，那麼在如此接近到期日的邊界條件下突然將收益設置為零，則很難對沖障礙期權，就會出現對沖問題。 例如，下跌和賣出期權在哪裡罷工 $ K $ 高於障礙 $ L $ . 但這是為什麼呢？偏導不存在或量級很大？如果有的話，解決方法是什麼？我認為這是函式的屬性，與用於計算解的數值方法無關。
如您所知，障礙期權是普通期權的擴展，因為它們有一個障礙水平，可以在觸及障礙時啟動或停用期權的收益。當期權處於價內或價外時，可能會遇到障礙。擊中障礙時啟動的障礙選項稱為敲入障礙選項或簡稱為 Ins，而停用的障礙選項稱為敲出障礙選項或 Outs。
在敲除期權中，如果從期權發行到到期，標的價格沒有觸及障礙，則期權持有人將獲得與普通期權相當的收益。敲入期權僅提供障礙被擊中後獲得積極回報的可能性。
當一個障礙期權敲入時，它變成一個等效的普通期權，因此提供相同的回報，而一個敲出相當於相應的普通期權，只要障礙直到到期（行權時間）才被擊中。
從數學上講
讓 $ M_T=\max{S_t, ,, 0\le t\le T} $ 和 $ m_T=\min{S_t, ,, 0\le t\le T} $ 那麼下注看漲期權和下注看跌期權的收益分別為
$$ (S_T-K)^+ \mathbb{I}{{m_T>L}} $$ $$ (K-S_T)^+ \mathbb{I}{{m_T>L}} $$ 向上和向外看漲期權和向上和向外看跌期權的收益如下所示 $$ (S_T-K)^+ \mathbb{I}{{M_T>L}} $$ $$ (K-S_T)^+ \mathbb{I}{{M_T>L}} $$ 僅當觸及障礙時，敲入期權的收益與到期時的等效普通期權相等，否則收益為零。 由一個敲入式看漲期權和一個敲出式看漲期權組成的投資組合相當於一個普通看漲期權，即
$$ \text{up-and-out call + up-and-in call}=\text{vanilla call} $$ 同樣，對於其他障礙選項，我們有以下關係，
$$ \text{down-and-out call + down-and-in call}=\text{vanilla call} $$ 和 $$ \text{up-and-out put + up-and-in put}=\text{vanilla put} $$ $$ \text{down-and-out put + down-and-in put}=\text{vanilla put} $$ 參考
- 蔣立尚，期權定價的數學模型和方法，世界科學出版有限公司。有限公司, 2003.
- Michael Kateregga，壁壘期權的定價和對沖，論文· 2011 年 6 月。
- Michael Suchaneck，障礙期權的定價和對沖及其在金融和人壽保險中的應用，2008 年。
- Nassim Taleb，動態對沖：管理普通期權和異國期權。