赫斯頓隨機波動率，吉薩諾夫定理
我們如何將 Girsanov 定理應用於隨機波動率模型？在赫斯頓的模型中，動力學由下式給出 $$ \begin{align*} dS_t &= \mu S_t dt + \sqrt{v_t}S_t d\widehat{W}^\mathbb{P}{1,t}, \ dv_t &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d \widehat{W}{1,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}{2,t} \right) \end{align*} $$ 在哪裡 $ \widehat{W}^\mathbb{P}{1,t} $ 和 $ \widehat{W}{2,t}^\mathbb{P} $ 是獨立的標準布朗運動，並且 $ \rho \in (-1,1) $ 相關係數。使用 Girsanov 定理，我們將有股票過程 $$ \widehat{W}^\mathbb{Q}{1,t} = \left(\widehat{W}^\mathbb{P}{1,t} + \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}}t\right). $$ 我們也可以將 Girsanov 定理應用於變異數 SDE 嗎？更準確地說，會發生什麼 $ d\widehat{W}^\mathbb{P}{2,t} $ . 他們在一些教科書中寫道 $ d\widehat{W}^\mathbb{Q}{2,t} = \left(d\widehat{W}^\mathbb{P}{2,t} + \lambda dt\right). $ 但是我們有 $$ \begin{align*} dv_t &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d \widehat{W}{1,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}{2,t} \right) \ &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho \left( d \widehat{W}{1,t}^{\mathbb{Q}\lambda} - \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}} dt \right) +\sqrt{1- \rho^2} \left( d \widehat{W}^\mathbb{Q}_{2,t} - \lambda d t) \right) \right) \ &= \kappa \left( \theta - \frac{\rho}{\kappa} \sigma (\mu - r) - v_t
- \frac{\sqrt{1- \rho^2 } }{\kappa} \lambda \sigma \sqrt{v_t} \right) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d\widehat{W}^\mathbb{Q}{1,t} + \sqrt{1- \rho^2} d \widehat{W}^\mathbb{Q}{2,t} \right) \end{align*} $$ 奇怪的是我從來沒有這樣看。誰能給我一個線索？
考慮現實世界測量下的 Heston (1993) 模型( $ \mathbb{P} $ ) $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu^\mathbb{P} S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P}, \ \mathrm{d}v_t&=\kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P}\mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P}=\rho^\mathbb{P}\mathrm{d}t $ .
我將風險（或“Girsanov 核心”）的市場價格定義為 $$ \begin{align} \varphi_S &= \frac{(\mu^\mathbb{P}-r)S_t}{\sqrt{v_t}S_t}=\frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_t}}, \ \varphi_v &= \frac{\lambda v_t}{\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}}=\frac{\lambda}{\sigma^\mathbb{P}}\sqrt{v_t}, \end{align} $$ 在哪裡 $ \lambda $ 是一個參數。
二維 Girsanov定理產生 $$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\bigg|{\mathcal{F}t}= \exp\bigg(&-\int_0^t \frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_s}}\mathrm{d}B{S,s}^\mathbb{P} -\int_0^t \frac{\lambda\sqrt{v_s}}{\sigma^\mathbb{P}}\mathrm{d}B{v,s}^\mathbb{P} \ &+ \int_0^t \frac{ (\mu^\mathbb{P}-r)\lambda\rho^\mathbb{P}}{\sigma^\mathbb{P}}\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\int_0^t \left(\frac{(\mu^\mathbb{P}-r)^2}{v_s}+\frac{\lambda^2v_s}{(\sigma^\mathbb{P})^2} \right)\mathrm{d}s\bigg), \end{align*} $$ 這樣 $$ \begin{align*} \mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P} + \varphi_S\mathrm{d}t, \ \mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P} + \varphi_v\mathrm{d}t, \end{align*} $$ 是標準布朗運動的增量 $ \mathbb{Q} $ . 注意 $ \mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q}=\rho^\mathbb{P}\mathrm{d}t $ . 因此，當改變度量時，相關係數保持不變， $ \rho^\mathbb{Q}=\rho^\mathbb{P} $ .
新的**風險中性動態（ $ \mathbb{Q} $ )然後 $$ \begin{align} \mathrm{d}S_t&=r S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q}, \ \mathrm{d}v_t&= \kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} -\lambda v_t\mathrm{d}t \ &= \left(\kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}-(\kappa^\mathbb{P}+\lambda)v_t\right)\mathrm{d}t +\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} \ &= \kappa^\mathbb{Q} \left(\bar{v}^\mathbb{Q}-v_t\right)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{Q}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q}, \end{align} $$ 這又是一個平方根擴散，其中 vol-of-vol 沒有改變， $ \sigma^\mathbb{Q}=\sigma^\mathbb{P} $ . 然而，正如在 Heston (1993, Equation (27)) 中，均值回歸的速度和長期均值現在是 $$ \begin{align} \kappa^\mathbb{Q} &= \kappa^\mathbb{P}+\lambda, \ \bar{v}^\mathbb{Q} &= \frac{\kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}}{\kappa^\mathbb{P}+\lambda}. \end{align} $$
有趣的是， $ \kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}=\kappa^\mathbb{Q}\bar{v}^\mathbb{Q} $ .
經濟上發生了什麼？
- 之間的區別 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ 漂移的 $ S_t $ 是 $ (\mu^\mathbb{P}-r)S_t $ . 術語 $ \mu^\mathbb{P}-r $ 是風險溢價（= 風險厭惡者為持有一個單位暴露於推動股票價格的衝擊而要求的回報）。
- 之間的區別 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ 漂移的 $ v_t $ 是 $ \lambda v_t $ . 我們稱之為 $ \lambda $ 變異數風險溢價（= 風險厭惡者為持有變異數創新的單位敞口而要求的回報）。
- 風險的市場價格是夏普比率。他們將風險溢價除以相應的瞬時波動率（ $ \text{d}B $ -SDE 的一部分）。
- 處於平衡狀態， $ \lambda<0 $ 因為理性的代理人不喜歡高波動性（ICAPM 意義上的投資機會惡化，參見Campbell 等人（2018，JFE））。Coval 和 Shumway (2001, JF)以及Carr 和 Wu (2009, RFS)給出了這方面的經驗證據。
- 如果 $ \lambda<0 $ ， 然後 $ \bar{v}^\mathbb{Q}>\bar{v}^\mathbb{P} $ 和 $ \kappa^\mathbb{Q}<\kappa^\mathbb{P} $ ，即變異數具有較高的均值水平，但均值回歸速度較慢。這意味著風險中性分佈誇大了變異數過程。這與隨機折扣因子應該做什麼是一致的，請參閱這個答案。隨機貼現因子, $ M_t $ , 很簡單 $ M_t=e^{-rt}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t} $ .
- 雖然 Radon Nikodym 導數似乎取決於積分變異數，但我認為 SDF 仍然是**Markovian**。股價也是馬爾可夫，如果你寫下如何 $ S_t $ 看起來，它似乎也包括了綜合變異數。特徵函式 $ \ln(S_t) $ 然而，揭示了機率屬性僅取決於狀態變數的目前值， $ S_t $ 和 $ v_t $ .
- 由於市場是不完全的，存在無限多的風險中性措施。我自由選擇將風險的市場價格定義為特定形式（例如 $ S_t $ 和 $ v_t $ 在兩種測量下具有相同的分佈，只是參數不同）。基於最小化 Heston 模型中 Delta 對沖誤差的其他參數化是可能的。
有關Girsanov 定理的更多技術細節。假設您想使用獨立的布朗運動。放 $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu^\mathbb{P} S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}, \ \mathrm{d}v_t&=\kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P}\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}=0 $ . 一如既往地設置， $ \varphi_1=\frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_t}} $ 而且，重要的是讓風險的第二市場價格， $ \varphi_2 $ ，暫時未確定（我們最終會回到這個問題）。然後，Girsanov 定理只涉及獨立的布朗運動，我們有 $$ \begin{align*} \mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P} + \varphi_1\mathrm{d}t, \ \mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P} + \varphi_2\mathrm{d}t. \end{align*} $$ 因此，通過構造，我們得到通常的風險中性股票價格動態 $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=r S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q}. \end{align*} $$ 然而，變異數過程變為 $$ \begin{align*} \mathrm{d}v_t&= \kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q}\right)\ &;;;;;;\underbrace{-\sigma^\mathbb{P}\rho(\mu^\mathbb{P}-r)\text{d}t-\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\sqrt{1-\rho^2}\varphi_2\text{d}t}{=\lambda(t,S_t,v_t)\text{d}t} \ &= \left(\kappa^\mathbb{P}(\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)+\lambda(t,S_t,v_t)\right)\mathrm{d}t +\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}W{1,t}^\mathbb{Q}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q}\right). \end{align*} $$ 如果您現在對變異數風險溢價使用與以前相同的參數化， $ \lambda(t,S_t,v_t)=\lambda v_t $ ，您恢復與以前相同的風險中性參數。請注意，我們沒有確定 $ \varphi_2 $ 直接地。我們只是通過選擇隱含地選擇正交布朗運動的風險價格 $ \lambda(t,S_t,v_t) $ . 同樣，這種參數化的主要原因是保持分佈 $ v_t $ 在這兩種度量下都是一樣的（儘管 Heston 提供了一些基於 CCAPM 的直覺）。
我認為您不能以這種方式應用 Girsanov 定理，並指出我不理解您在評論中的（簡短）論點。這就是我將如何進行，這在數學上是有道理的，但經濟解釋有點奇怪。
讓我們把 SDE 寫得有點不同，注意它仍然保留相同的相關結構 $$ \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} &= \mu dt + \sqrt{v_t} d \left( \rho d \widehat{W}{2,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}{1,t} \right) \ dv_t &= \kappa (\theta - v_t )dt + \sigma \sqrt{v_t} d\widehat{W}^\mathbb{P}_2\ \end{align*} $$ 在哪裡 $ \widehat{W}^\mathbb{P}_1 $ 和 $ \widehat{W}^\mathbb{P}_2 $ 是獨立的標準布朗運動，並且 $ \rho \in (−1,1) $ 相關係數。假設（波動性）風險的市場價格與@Kevin 或 Heston 相同，並將其表示為 $ \lambda_2 $ ， 我們有 $$ \begin{align*} \lambda_2= \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma} \end{align*} $$ 然後，風險中性測度下的標準布朗運動與物理測度下的標準布朗運動之間的關係由下式給出 $$ \begin{align*} d \widehat{W}1^{\mathbb{Q}\lambda} = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} \left( \frac{\mu - r}{\sqrt{v}} - \frac{ \lambda \rho \sqrt{v_t}}{\sigma} \right)dt + d \widehat{W}^\mathbb{P}1 \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} d\widehat{W}^{ \mathbb{Q}\lambda}_2 = \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma}dt + d \widehat{W}_2^\mathbb{P}. \end{align*} $$ 風險過程的二元市場價格 $ (\lambda_1, \lambda_2) $ 是（誰）給的 $$ \begin{align*} \lambda_1 =\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} \left( \frac{\mu - r}{\sqrt{v}} - \frac{ \lambda \rho \sqrt{v_t}}{\sigma} \right) \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \lambda_2= \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma} \end{align*} $$ 並不是 $$ \begin{align*} \lambda_1 = \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}} \end{align*} $$ 事實上，在布萊克和斯科爾斯模型中，風險的市場價格由下式給出 $ (\mu^{BS}-r)/\sigma^{BS} $ ，但在這裡我認為我們必須將兩個標準布朗人都考慮在內。
特別是，那麼我們有 $$ \begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} \bigg\vert_{\mathcal{F}T}= \exp \bigg( - \bigg( \int^T_0 \lambda_1(u) d \widehat{W}{1,t}^\mathbb{P}(u) + \int^T_0 \lambda_2(u) d \widehat{W}_{2,t}^\mathbb{P}(u) \bigg) - \frac{1}{2} \bigg( \int^T_0 \lambda_1^2(u) du + \int^T_0 \lambda_2^2(u)du \bigg) \bigg) \end{align*} $$