你如何推導出這個類似於 Carr-Madan 的方程？
你如何得出下面的等式（3）？該等式在本文中標記為等式（11）：http: //janroman.dhis.org/finance/IR/Heston%E2%80%93Hull%E2%80%93White%20Model%20Part%20I.pdf
這篇論文有些部分我不明白。我懷疑有一些小錯誤，這使得事情更難解開。這就是我閱讀等式（3）的方式。
- $ C(t) $ 是當時看漲期權的價格 $ t $ 以行使價 $ K $ 和到期時間 $ T $ .
- $ \varphi(z) $ 是特徵函式 $ x=\log(S(T)) $ ， 那裡 $ S $ 是當時資產的價格 $ T $ . 那是，
$$ \varphi(z) = \mathbb{E}[e^{xt}|F(t)]\tag{1} $$
在哪裡 $ F $ 是過濾。作者沒有說明，但我也相信這個期望值是在風險中性度量下計算的 $ F(t) $ . 如果 $ q_T $ 是的pdf $ x $ 有時 $ T $ 在風險中性測度下，則
$$ \varphi(z) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{ixz}q_T(x)\mathrm{d}x\text{.}\tag{2} $$
- $ f(x) $ 是當資產價格當時的看漲期權的收益 $ T $ 是 $ e^{x} $ . $ e^{-cx}f(x) $ 是一個轉變 $ f $ 需要進行傅里葉變換。 $ \hat{f} $ 是傅里葉變換 $ e^{-cx}f(x) $ .
最後，我們的方程是複線積分
$$ C(t) = \frac{e^{-r(T-t)}}{2\pi}\int_{c-\infty}^{c+\infty} \varphi(-z) \hat{f}(z)\mathrm{d}z\tag{3}\text{.} $$
這個方程似乎與 Carr & Madan 論文中的方程 (5)相似。該方程只是傅里葉逆變換
$$ C(t) = \frac{e^{-ck}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ivk}\psi_T(v)\mathrm{d}v\tag{4} $$
在哪裡 $ k=\log(K) $ 和 $ \psi_T $ 是傅里葉變換 $ e^{ck}C(t) $ . 與我的等式（3）的一個很大區別是交換 $ \varphi(-z) $ 為了 $ e^{ivk} $ .
我如何推導出我的等式（3）？它與等式（4）有什麼關係？什麼是 $ f $ 和 $ \hat{f} $ ?
Kammeyer 和 Kienitz 論文中的方程 (11) 是一個非常著名和流行的期權定價公式。它可以追溯到Lewis (2001)的工作，參見 Lewis 論文中的定理 3.2。
劉易斯的原始公式（2001）
Lewis 中歐式衍生品價值的公式是$$ V(S_0) = \frac{e^{-rT}}{2\pi} \int_{\color{red}{i}\nu-\infty}^{\color{red}{i}\nu+\infty}\varphi_T(-z)\hat{w}(z)\text{d}z, $$ 在哪裡
- $ \nu $ 是一個實數。它定義了我們在復平面中積分的路徑： $ {z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)=\nu} $ . 我在下面提供更多資訊。
- $ \varphi_T $ 是的（廣義）特徵函式 $ \ln(S_T) $ ，我們的期權收益所依賴的終端對數股票價格
- $ w $ 是支付函式（作為 $ \ln(S_T) $ ）。對於普通看漲期權， $ w(s)=\max{e^s-K,0} $ . 功能 $ \hat{w} $ 是函式的（廣義）傅里葉變換 $ w $ .
注：兩者 $ \varphi_T $ 和 $ \hat{w} $ 在復平面中的點進行評估（不一定在實線上！）
你的配方
Kammeyer 和 Kienitz 表示，時間—— $ t $ 看漲期權的價值是 $$ C(t)=\frac{e^{-r(T-t)}}{2\pi} \int_{c-\infty}^{c+\infty} \varphi(-z)\hat{f}(z)\text{d}z. $$ 一、兩個重點
- 公式中有一個小錯字。積分界應該是 $ \color{red}{i}c-\infty $ 和 $ \color{red}{i}c+\infty $ .
- 您的期權定價公式適用於時間- $ t $ 期權價格。因此，一切都是有條件的 $ \mathcal{F}_t $ , 過濾產生的時間 $ t $ ，看到這個答案。Lewis (2001) 簡單地設置 $ t=0 $ .
其餘的與 Lewis 的原始公式相同。 $ \varphi $ 是特徵函式 $ \ln(S_T) $ , 條件是 $ \mathcal{F}_t $ 和 $ f $ 是支付函式和 $ \hat{f} $ 是它的（廣義）傅里葉變換。
支付函式的傅里葉變換
讓 $ f(x)=\max{e^x-e^k,0} $ 成為帶有罷工的普通看漲期權的回報 $ K=e^k $ . 該功能不在 $ L^1 $ 並且沒有傳統的傅里葉變換！然而，它有一個廣義的傅里葉變換。通常，如果 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ ，然後我們將傅里葉變換（金融領域）定義為 $ \hat{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{C}, u\mapsto \int_\mathbb{R} e^{iux}f(x)\text{d}x $ . 為了這個積分存在， $ f $ 需要迅速 衰減 或 得到 緊 支撐. 支付函式不滿足這一點。
的廣義傅里葉變換 $ f $ 是 $ \hat{f}:\mathcal{S}f\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}, u\mapsto \int\mathbb{R} e^{iux}f(x)\text{d}x $ . 因此，它是為複數的子集定義的！事實證明這 $ \mathcal{S}f $ 是複平面中的一條水平帶。我們可以如下計算支付函式的變換 $$ \begin{align} \hat{f}(u) &= \int{-\infty}^\infty e^{iux} \left(e^x-e^k\right)^+ \text{d}x \ &= \int_k^\infty \left(e^{x(iu+1)} - Ke^{iux}\right) \text{d}x \ &= \left[ \frac{e^{x(iu+1)}}{iu+1} - K\frac{e^{iux}}{iu}\right]_{x=k}^{x=\infty} \ &= −\frac{e^{ik(u−i)}}{u(u-i)}. \end{align} $$ 這最後一步僅在該術語確實消失時才有效 $ x\to\infty $ . 這只發生在 $ \text{Im}(z)>1 $ . 因此，看漲期權收益的條帶是 $ \mathcal{S}_f={z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>1} $ . 同樣，對於看跌期權，我們有 $ \mathcal{S}_f={z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)<0} $ . 這些是支付函式具有有效傅立葉變換的積分條。請注意，兩個條帶都排除了實線（即，沒有標準的傅立葉變換）。
劉易斯期權定價公式的證明
從標準的風險中性定價開始， $$ \begin{align} V &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[w(\ln(S_T)] \ &=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}e^{-iz\ln(S_T)}\hat{w}(z)\text{d}z\right] \ &=\frac{e^{-rT}}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[e^{i(-z)\ln(S_T)}\right]\hat{w}(z)\text{d}z \ &=\frac{e^{-rT}}{2\pi}\int_{i\nu-\infty}^{i\nu+\infty}\varphi_T(-z)\hat{w}(z)\text{d}z \ \end{align} $$ 在這裡，我們只是使用（逆）廣義傅里葉變換和 Fubini 定理的定義。使用 Plancherel 定理（或 Parseval 定理）的證明也是可能的。為了應用 Fubini 並且積分是明確定義的，我們需要沿著所有項都明確定義的複形中的路徑進行積分，因此 $ \nu\in\mathcal{S}_V=\mathcal{S}_w\cap\mathcal{S}_f^* $ 健康）狀況。