在對支付股息的資產進行建模時，如何從度量 P 到 Q（風險中性）？
我真的很難將 Girsanov 定理應用到現實世界的測量中 $ P $ 風險中性測度 $ Q $ . 我想確定基於支付股息的資產的衍生品的收益，因此股息將通過負面改變漂移來影響資產的價值，但在計算收益時不考慮，因為它只是從資產價格中得出的隨著時間的推移。
我們從實際測量開始 $ P $ . 我們對一些索引感興趣， $ S_t $ ，我相信我們可以將其視為像股票一樣的單個實體，並且我們可以在現實世界中觀察到。它具有波動性 $ \sigma $ . 我們也知道，該指數以 $ \delta $ . 該指數被描述為“遵循幾何布朗運動”，這對我來說意味著沒有其他漂移發生，所以我採取 $ \mu $ 成為 $ 0 - \delta $ . 第一個問題：假設沒有其他漂移是否正常？
$ dSt = (-\delta) St dt + \sigma St dWt $
在哪裡 $ dWt $ 是標準維納增量。
這麼明顯下 $ P $ ，我們的指數資產有漂移 $ -\delta $ 因為它正在支付股息。
如果有人實際持有資產，那麼他們可以將這些股息再投資，但我們只關心資產的價值以確定衍生品的回報。
所以我們現在要做的是確定風險中性度量下資產的預期價值， $ Q $ . 我們希望這個預期值（由獲得無風險利率的債券的價值折現）在此度量中成為鞅，因此資產也必須以無風險利率漂移。這樣，在風險中性度量下，波動率為 0 的資產等價於債券。
為了實現這一點，我們希望將流程的漂移從 $ -\delta $ 在下面 $ P $ 到 $ r $ 在下面 $ Q $ . 我們定義了一個新流程
$ X_t = \theta t + W_t $
在哪裡
$ \theta = \frac{(-\delta - r)}{\sigma} $
如果我們現在考慮折現資產價格 $ S_t^* = S_t / Bt = S_t e^{-rt} $ 我們有以下內容。
$ dSt^* = (-\delta - r) St^* dt + \sigma St^* dWt $
$ dSt^* = (-\delta - r) St^* dt + \sigma St^* (X_t - \theta) $
$ dSt^* = (-\delta - r) St^* dt + \sigma St^* (X_t - \frac{-\delta - r}{\sigma}) $
$ dSt^* = \sigma St^* X_t $
現在我們在哪裡有流程 $ St^* $ 如果我們在下面，作為一個沒有漂移的幾何布朗 $ Q $ 和以前一樣的漂移 $ P $ . 我們所做的只是把 $ (X_t-\theta) $ 在為 $ W_t $ 這些在定義上是相等的。
所以下 $ Q $ ，並且沒有貼現，資產的過程 $ S_t $ 應該遵循
$ dSt = r St dt + \sigma St dXt $
因此，資產支付的股息以某種方式“在”布朗運動中 $ X_t $ 這顯然就是我們所看到的？
在這一點上，我想停下來問“我們在什麼時候認為自己在 $ Q $ ‘?”。通過 google-fu，我在 R 中找到了一個範常式序，他們通過以不同的機率向上或向下採用恆定大小的步長來對布朗運動進行二項式近似。程式碼的相關部分如下所示：
n = 2000 t = (0:n)/n # [0/n, 1/n, .... n/n] dt = 1/n theta = 1 p = 0.5 * (1 - sqrt(dt) * theta) u = runif(n) # Random uniform variates dWP = ((u < .5) - (u > .5))*sqrt(dt) # increments under P dWQ = ((u < p) - (u > p))*sqrt(dt) # increments under Q WP[1:n+1] = cumsum(dWP) WQ[1:n+1] = cumsum(dWQ) XP = WP + theta*t # Theta exactly offsets the change in measure XQ = WQ + theta*t # Now XQ == WP我看到他們正在使用 $ p $ 而不是 0.5 來決定二進制離散化中的符號，但是如果我們可以訪問實際的隨機正態變數，這是必要的嗎？簡單地定義不應該是足夠的嗎 $ \theta $ 如上所述適當地使用它，然後 $ W_t $ 推導 $ X_t $ ， 直接地？雖然，如果我們這樣做，那麼我們從 $ W $ 到 $ X $ 但我不明白我們是怎麼來的 $ P $ ， 到 $ Q $ 如果那發生了。
那麼，我們資產的回報就是風險中性措施下的貼現預期。所以我們進化了這個過程 $ S_t $ 測量中 $ Q $ 直到到期時間 T，計算收益。重複數千次，然後取平均值並將其折回 $ t = 0 $ 得到價格。
我認為所有這一切似乎都很合理並且很有意義，但是當我嘗試實現它時，我得到的結果與我期望的完全不同。誰能確認我剛剛介紹的關於我們如何達到風險中性措施的故事是正確的？
一個更普遍的問題： $ W_t $ 是鞅 $ P $ . 我們改變它並改變措施來創造 $ X_t $ 並讓它成為一個鞅 $ Q $ . 然後我們根據流程對資產進行建模 $ X_t $ 與漂移河。如果我們想要的只是一個股票以無風險利率漂移的過程，那麼我們通過改變 $ W $ 到 $ X $ 和 $ P $ 到 $ Q $ 如果它們完全相互抵消？我們為什麼不直接使用 $ W_t $ ? 股息怎麼了？
如果庫存過程在 $ -\delta dt $ 在下面 $ P $ , 它到底是什麼樣子的 $ Q $ ? 它不能只是看起來像是在無風險利率上漂移，因為那樣的話股息根本就沒有影響。
進一步的搜尋產生了一些建議，它應該在 $ r-\delta $ ，因為我們假設股息投資於債券。我們為什麼要做出這樣的假設？是因為我們要考慮包含資產而不是資產本身的投資組合嗎？
廣告）“假設沒有其他漂移是正常的嗎？” 在測量 P 下，您可能會有漂移。您可以將其用作工作假設，但一般而言，索引會時不時地漂移。所以，不，通常你不會假設漂移。
“該指數被描述為“遵循幾何布朗運動”，對我來說，這意味著沒有其他漂移發生”幾何布朗運動：如果滿足眾所周知的 dS/S SDE，S 遵循 gBm，漂移不- 零，與你的推論相反。
廣告）“在什麼時候我們認為自己‘在 Q 之下’？”。Q 是風險中性度量：當您為 W 插入 X 表達式時，您切換到漂移 r 和 Q。順便說一句，請參閱連結以獲取正確的符號和推導。
ad) “如果庫存過程在 P 下的 -δdt 處向下漂移，那麼 Q 下的實際情況如何？” 在此處插入 mu=mu*-delta 。這會產生 X 下的漂移係數 (r+delta)S_t。
ad）“因為我們假設股息投資於債券。” 這裡的股息是持有期間的平均收益率。您將其再投資於底層證券。
廣告）“我認為所有這些看起來都很合理，而且很有意義”：聽起來不錯。