在任何度量下，匯率過程如何成為鞅？
假設在美國交易的一家美國公司的股票價格的過程是在美元貨幣市場計價下：
$$ dS_t=S_tr_{USD}dt+S_t\sigma_SdW_1(t) $$
使用資產定價基本定理，我們必須有：
$$ \frac{S_0}{B_{USD}(t_0)}=\frac{S_0}{1}\stackrel{?}{=}\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{S_t}{B_{USD}(t)}\right]=\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{S_0e^{r_{USD}t-0.5\sigma_S^2t+\sigma_SW_1(t)}}{e^{r_{USD}t}}\right]=S_0 $$
很明顯，折扣過程 $ S_t $ 是鞅 $ B_{USD}(t) $ 作為計價器。
假設我對美元和歐元之間的匯率感興趣，我表示描述我需要為 1 單位歐元支付多少美元單位的過程為 $ X_t $ （即類似於過程 $ S_t $ ，它告訴我需要為 1 單位的美元支付多少單位的美元 $ S_t $ ）。
讓過程 $ X_t $ 如下：
$$ dX_{EUR\rightarrow USD}(t)=(r_{USD}-r_{EUR})X_{EUR\rightarrow USD}(t)dt+\sigma_XX_{EUR\rightarrow USD}(t)dW_2(t) $$
前鋒 $ X_t $ 表示為 $ F(X_t)=\mathbb{E}_{USD}^Q[X_t|X_0] $ .
遠期的無套利條件很簡單：$$ F(X_{EUR\rightarrow USD}(t))=\frac{e^{r_{USD}t}}{e^{r_{EUR}t}}X_{EUR\rightarrow USD}(t_0) $$
顯然，這個條件是滿足的，因為$$ \mathbb{E}{USD}^Q[X_t|X_0]=\mathbb{E}{USD}^Q[X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t-0.5\sigma_X^2t+\sigma_XW_2(t)}]=X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t}=\frac{e^{r_{USD}t}}{e^{r_{EUR}t}}X_{EUR\rightarrow USD}(t_0) $$
但顯然，在美元計價下，折現過程 $ X_t $ 不是鞅，因為：
$$ \frac{X_0}{1}\stackrel{?}{=}\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{X_t}{B_{USD}(t)}\right]=\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t-0.5\sigma_X^2t+\sigma_XW_2(t)}}{e^{r_{USD}t}}\right]=X_0e^{-r_{EUR}t}\neq X_0 $$
所以過程為 $ X_t $ 不能是一個有效的過程下 $ B_{USD}(t) $ 計價的。這將不是一個有效的過程 $ B_{EUR}(t) $ numeraire 也是，因為同樣，如果按 EUR numeraire 折現，它就不是鞅。
這裡的陷阱在哪裡？
問題是，當股票支付股息時，比如說，通過連續複利的股息收益率 $ q $ 然後 $$ \frac{dS_t}{S_t}=r_{USD},dt\color{red}{-q,dt}+\sigma,dW_t,, $$ 和 $ S_te^{-r_{USD}t} $ 也不再是鞅。感謝上帝，這可以解決，因為當您將已支付股息的現值添加到此過程中時 $$ M_t=S_te^{-r_{USD}t}+\int_0^tqS_ue^{r_{USD}(t-u)},du $$ 是鞅。看到這個答案。
現在到外匯匯率。著名的 SDE $$ \frac{dX_t}{X_t}=r_{USD},dt\color{red}{-r_{EUR},dt}+\sigma,dW_t $$ 表明 $ r_{EUR} $ 是當您持有一個單位時您獲得的連續複合股息收益率 $ X_t $ 這是一歐元的美元價格。
這很有意義，因為當我們有 1 歐元現金時，我們可以說我們持有 $ X_t $ 美元，我們確實收到 $ r_{EUR} $ 每次並分享持有該現金的股息。
使長話短說： $ X_te^{-r_{USD}t} $ 不是鞅，而是 $$ M_t=X_te^{-r_{USD}t}+\int_0^tr_{EUR}X_ue^{r_{USD}(t-u)},du $$ 是一個。