實踐中如何從隱含波動率計算局部波動率
局部波動率可以從隱含波動率推導出來。但在實踐中我們如何處理一階和二階導數？
我看過這個公式 $$ \sigma_{\mathrm{Dup}}(T, K)^{2}=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{1-\frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w}+\frac{y^{2}}{w^{2}}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}} $$
資料來源：Gatheral 的“波動性表面”，p.13，eq。(1.10) https://quant.stackexchange.com/a/40363/16148
我也知道對於下面的 Dupire 方程，我們可以使用有限差分法，如如何從 IV 表面計算局部 vol 表面的數值範例。
$$ \sigma_{L}(k, T)=\sqrt{\frac{\frac{\partial C}{\partial T}}{\frac{1}{2} K^{2} \frac{\partial^{2} C}{\partial K^{2}}}} $$
如果我們計算局部波動率，通常是因為我們想通過數值求解 PDE 或通過蒙地卡羅模擬來計算價格。根據我們使用這兩種方法中的哪一種，實際方法略有不同。
首先，我們假設我們得到了一個非常平滑的波動率表面 $ \sigma_\text{imp}(K, T) $ 在哪裡 $ T $ 是時候到期了 $ K $ 是罷工，從某種波動性來源（或從價格中退出）內插。
標準方法是使用您的第一個公式（Gatheral eq 1.10）。無論我們使用的是 PDE 還是 Monte Carlo，我們總是有一個時間網格。比如說，估值時間和期權到期之間可能有 100 個網格點。或者它可能是每天或每週的時間表。到期導數（局部波動率公式中的分子）應始終通過該時間網格上的有限差分來計算（以固定貨幣為基準）。
傳統上，罷工（實際上是貨幣）衍生品是從平滑的隱含波動率表面分析計算的。在 PDE 方法中，我們在每個 PDE 點網格點（和每個時間網格點）處執行此操作。在蒙地卡羅方法中，沒有現貨網格，但我們引入了一個純粹用於局部波動率的網格。然後我們創建一個插值器，每個時間網格點一個插值器，它從點網格中插值局部波動率。在模擬即期路徑時，我們及時模擬即期匯率，並在目前時間步使用插值器得到局部波動率。
為了理解為什麼我們對分子使用有限差分，我們注意到在沒有微笑/傾斜的情況下，它給出了準確的 Black-Scholes 前向波動率（因此蒙特卡羅沒有離散化誤差，只有模擬誤差） .
沒有什麼可以阻止我們使用您的第二個公式，直接區分看漲/看跌價格。然而，Gatheral 公式更加直接和優雅，並且不關心遠在價內或價外的看漲期權價格的數字問題。
話雖如此，最近可以使用第二個公式的變體，這樣當您以數字方式求解 PDE 時，您可以準確地恢復看漲和看跌價格，當它們在網格上執行和到期時。在這種情況下，分母中的導數使用打擊網格上的有限差分來計算，而有限差分使用稍微複雜的公式來計算分子。詳細資訊在這裡：https ://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3530561
在市場中，您觀察到一組離散的期權價格，用於各種行使價和到期日，因此您在這組離散的期權價格中隱含波動率 $ (K, T) $ 點。
然後對於每次到期，您需要一個平滑的成交量作為罷工的函式。這可以通過插值（例如三次樣條，由於每個子函式的“波紋”而不能很好地工作）或最好通過非線性最小二乘最小化（例如 SVI）將參數函式擬合到點來完成.
然後你需要一些方法來及時插入 vols。通常，總變異數中的線性插值效果很好。