如何計算此路徑相關選項的現值？
我有一個期權，其收益取決於其價值的兩倍 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 如下。
$$ V(t) = \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}_{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)], $$
股票價格遵循 GBM 動態 $ \mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t $ . 如何使用 BS 方法計算其價值？
我們有
$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B} (S(T_2)-K)^+)] \ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B}\mathbb{1}{S(T_2)>K} (S(T_2)-K))] \ &= \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B}\mathbb{1}{S(T_2)>K} S(T_2)]-K\mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B}\mathbb{1}_{S(T_2)>K}] \ \end{align} $$
第二項等於 $$ \begin{align} \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B}\mathbb{1}{S(T_2)>K}] &= P(S(T_1)>B,S(T_2)>K)\ &=P( W_{T_1}>\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},W_{T_2}>\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \ &=P( -W_{T_1}<-\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_1}{\sigma},-W_{T_2}<\frac{\ln(\frac{K}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_2}{\sigma}) \ &=\Phi_2 ((-d_1,-d_2);(0,0);\mathbf{\Sigma}) \end{align} $$ 在哪裡
- $ \Phi_2(\mathbf{x};\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma}) $ 是的累積機率函式 $ (X_1,X_2) $ 遵循二元正態分佈 $ \mathcal{N}_2(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma}) $
- $ \mathbf{\Sigma} $ 是共變異數矩陣 $ (-W_1,-W_2) $ 和 $$ d_i =\frac{\ln(\frac{B}{S_0})+\frac{\mu^2}{2}T_i}{\sigma} $$
對於第一個術語，使用 $ S_t $ 作為 numeraire，您可以將其轉換為 $$ \mathbb{E}^{Q}[\mathbb{1}{S(T_1)>B}\mathbb{1}{S(T_2)>K} S(T_2)] = \mathbb{E}^{Q_S}[\mathbb{1}{S’(T_1)>B}\mathbb{1}{S’(T_2)>K}] $$ 之後，應用與第二項相同的方法。量子點