如何推導出遵循均值回歸過程的資產的定價 PDE？
我想推導出一個 Black-Scholes 型偏微分方程來為遵循均值回歸過程（Schwartz 模型）的資產的期權定價。
我的嘗試遵循推導 Black-Scholes PDE 的方法，但使用均值回歸過程來描述資產，而不是幾何布朗運動：
讓 $ S $ 遵循均值回复隨機過程 $$ S = \kappa(\mu-\ln S)S dt + \sigma SdW $$ 然後讓 $ V=V(S,t) $ 表示期權的價值。從伊藤引理我們有 $$ dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\kappa(\mu-\ln S)S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt+ \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW_t. $$
讓我們執行一個 delta 對沖，即建構一個投資組合 $ \Pi=-V+\frac{\partial V}{\partial S} S $ . 我們看到 $$ d\Pi = \left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt, $$ 並且由於投資組合 $ \Pi $ 不涉及任何風險，必須賺取無風險利率，即 $$ d\Pi = r\Pi dt= r\left(-V+\frac{\partial V}{\partial S} \right)dt. $$ 因此，我們將有一個形式為 PDE $$ \frac{\partial V}{\partial t} +rS\frac{\partial V}{\partial S} +\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2V}{\partial S^2}-rV=0, $$ 這是正常的 Black-Scholes PDE。
這是正確的，還是我在這裡哪裡出錯了？
我認為 PDE 應該是 $$ \frac{\partial V}{\partial t} +\kappa\left(\mu - \lambda-\ln S\right)S\frac{\partial V}{\partial S} +\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2V}{\partial S^2}-rV=0, $$ 在哪裡 $ \lambda $ 是風險的市場價格。例如，這種形式的 PDE 可以在這篇文章中找到。
在 Black-Scholes-Merton 式的對沖投資組合中，我們會得到：
$$ dS_t=\kappa\left(\mu-\ln S_t\right)S_tdt+\sigma S_t dW_t $$
對沖投資組合
$$ \Pi_t\equiv V_t-\Delta_tS_t $$
和
$$ d\Pi_t=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}dS^2-\Delta_tdS_t $$
像往常一樣，投資組合是對沖iff $ \Delta_t=\frac{\partial V}{\partial S} $ 每時每刻。然後：
$$ \begin{align} d\Pi_t&=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}dS^2=r\left(V_t-\Delta_tS_t\right)dt\ \Rightarrow rV_t&=\frac{\partial V}{\partial t}+rS_t\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}dS^2 \end{align} $$
…和 $ \mu,\kappa $ 不要出現，因為物理世界的漂移組件在這個完全對沖（即風險中性）的世界中沒有任何發言權。HTH？
讓 $ {r_t, , t\ge 0} $ 是利率過程。對於成熟 $ T $ 和 $ 0\le t \le T $ ， 注意 $$ \begin{align*} V(S_t, t) = e^{\int_0^t r_s ds},\mathbb{E}\left(e^{-\int_0^T r_s ds}V(S_T, T) \mid \mathscr{F}_t\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbb{E} $ 是風險中性機率測度下的期望值。然後 $ M_t = e^{-\int_0^t r_s ds}V(S_t, t) $ 是鞅，因為 $ 0\le t \le T $ . 此外，請注意 $$ \begin{align*} dM_t &= e^{-\int_0^t r_s ds}dV - r_t e^{-\int_0^t r_s ds}V dt\ &=e^{-\int_0^t r_s ds}\left[\bigg(-r_t V_t + \frac{\partial V}{\partial t}+\kappa(\mu-\ln S)S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \bigg)dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW_t \right] \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t}+\kappa(\mu-\ln S)S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-r_t V_t=0. \end{align*} $$
關於期貨期權估值的應用，例如，請參見這個問題。有關債券價格的應用，請參見此處。
註釋
您推導中的問題是 $ \Pi=-V+\frac{\partial V}{\partial S} S $ 不是自籌資金的投資組合。請參閱此問題中的討論。