如何使用 B&S 框架為交易所期權定價？
考慮一個由兩隻股票組成的市場，它們的價格 $ X $ 和 $ Y $ 由 B&S 擴散給出：
$$ dX_t= \mu X_t dt+ \sigma X_tdW_t $$ $$ dY_t= \mu Y_t dt+ \sigma Y_tdB_t $$ 假設市場是完備的，如何評估收益為的期權的公平價格
$$ \phi(X_T,Y_T)=(X_T-Y_T)_+ $$ 我的想法是應用改變計價技術，從而獲得價格作為 B&S 公式的函式。但是，我無法找到它。
任何意見，將不勝感激。
測量變化仍然是解決此類問題的最自然方法。我們假設，在度量下 $ P $ ,
$$ \begin{align*} dX_t &= \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t^1,\ dY_t &= \mu Y_t dt + \sigma Y_t \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^2 \right), \end{align*} $$ 基於 Cholesky 分解，其中 $ {W_t^1, t \ge 0} $ 和 $ {W_t^2, t \ge 0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動，並且 $ \rho $ ( $ |\rho|<1 $ ) 是相關性。我們定義度量 $ Q $ 這樣 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma\left(\rho W_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} W_t^2 \right) \right). \end{align*} $$ 然後， $ {\widehat{W}_t^1, t \ge 0} $ 和 $ {\widehat{W}_t^2, t \ge 0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動 $ Q $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} \widehat{W}_t^1 &= W_t^1 - \rho\sigma t,\ \widehat{W}_t^2 &= W_t^2 - \sqrt{1-\rho^2}\sigma t. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} dX_t &= (\mu +\rho\sigma^2) X_t dt + \sigma X_t d\widehat{W}_t^1,\ dY_t &= (\mu + \sigma^2) Y_t dt + \sigma Y_t \left(\rho d\widehat{W}_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2 \right), \end{align*} $$ 進而 $$ \begin{align*} Y_T &= Y_0 \exp\left(\Big(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2 \Big)T + \sigma\left(\rho \widehat{W}_T^1 + \sqrt{1-\rho^2} \widehat{W}_T^2 \right) \right),\ \frac{X_T}{Y_T} &= \frac{X_0}{Y_0}\exp\left((\rho-1)\sigma^2T +\sigma(1-\rho)\widehat{W}_T^1-\sigma\sqrt{1-\rho^2} \widehat{W}_T^2 \right)\ &=\frac{X_0}{Y_0}\exp\left((\rho-1)\sigma^2T +\sqrt{2(1-\rho)}\sigma \frac{\sigma(1-\rho)\widehat{W}_T^1-\sigma\sqrt{1-\rho^2} \widehat{W}_T^2}{\sqrt{2(1-\rho)}\sigma} \right)\ &=\frac{X_0}{Y_0}\exp\left(-\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2T +\hat{\sigma} W_T \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \hat{\sigma} = \sqrt{2(1-\rho)}\sigma $ ， 和 $$ \begin{align*} W_t =\frac{\sigma(1-\rho)\widehat{W}_t^1-\sigma\sqrt{1-\rho^2} \widehat{W}_t^2}{\sqrt{2(1-\rho)}\sigma} \end{align*} $$ 是標準的 Brownina 運動，由 Levy 表徵。所以， $$ \begin{align*} E_P\left( (X_T-Y_T)^+\right) &= E_P\left(Y_T \left(\frac{X_T}{Y_T}-1\right)^+\right)\ &=E_Q\left( \left( \frac{dQ}{dP}\big|_T\right)^{-1}Y_T \left(\frac{X_T}{Y_T}-1\right)^+\right)\ &=Y_0e^{(u+\sigma^2)T}E_Q\left(\left(\frac{X_T}{Y_T}-1\right)^+ \right)\ &= Y_0e^{(u+\sigma^2)T} \left[\frac{X_0}{Y_0}\Phi(d_1) - \Phi(d_2) \right]\ &= e^{(u+\sigma^2)T} \Big[X_0\Phi(d_1) - Y_0 \Phi(d_2) \Big]. \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_1 &= \frac{\ln \frac{X_0}{Y_0} + \frac{1}{2}\hat{\sigma}^2T}{\hat{\sigma}\sqrt{T}}\ &=\frac{\ln \frac{X_0}{Y_0} + (1-\rho)\sigma^2T}{\sqrt{2(1-\rho)}\sigma\sqrt{T}},\ d_2 &= d_1 - \hat{\sigma}\sqrt{T}\ &= d_1 -\sqrt{2(1-\rho)}\sigma\sqrt{T}. \end{align*} $$