如何為這個籃子期權定價？
標的資產是三個全球股票指數：Eurostoxx 50, HSI, KOSPI 200
到期日：36 個月，每 6 個月提前贖回一次，如果指數價格在每個日期滿足給定條件。
Payoff : 4.5%(annually)
In the case where prices of each indexes at the maturity date are all less than 60% of the prices at the initial date, you get loss.
I want to use Monte Carlo Simulation using R.
I plan to determine the expected returns and co-variance matrix of three indexes from historical data and generate random numbers which follow multivariate normal distribution.
Using those random numbers, I will generate paths of each stock indexes and determine the total payoff.
However, determining the expected return or variance is hard because, lately, historical returns of some of indexes are not good, not even positive.
How can I determine that? Also, If you give me any idea of improving or implementing this simulation, I’d really appreciate that.
Thank you.
無意冒犯，但它會比您想像的要復雜得多……我什至不確定您是否首先熟悉風險中性定價？我會盡力給你一些線索。
這種證券稱為一籃子期權。除了多資產功能之外，您提到的契約中還嵌入了一些重要的機制：
- 自動呼叫功能，這意味著如果在契約中指定的離散觀察日期滿足某些條件，則可以提前贖回。
- 組合**/量化**功能。因為個別指數不是以相同的貨幣計價的，所以要麼你定義籃子 $ t $ -通過轉換每個單獨的索引的值 $ t $ - 以固定參考貨幣 (compo) 表示的值，或者您只需將這些指數值視為簡單的“數字”，並以固定參考貨幣表示它們的加權總和，而不管原始面額 (quanto)。
讓我們忘記自動呼叫和 quanto/compo 功能（因為它們需要自己的文章才能正確解決），暫時只關注籃子部分。
省略這些特徵使得收益純粹是歐洲的，即它只取決於籃子的最終價值（ $ T $ -價值）。讓我們用 $ \phi(B_T) $ ，在你的情況下[數學處理錯誤] $ \phi $ 看起來像是一個看跌期權的回報（或者可能是一個從你的解釋中不清楚的下注看跌期權）。
為了清楚起見，我們還假設以下是確定性和恆定的利率，以及成比例的紅利。我在下面列出的模型類別僅代表我自己的觀點，在實踐中並沒有這樣的區別。
定價 101
在風險中性措施下[數學處理錯誤] $ \mathbb{Q} $ 期權的價格由下式給出：
$$ V_0 = e^{-r T} \mathbb{E}0^\mathbb{Q} \left[ \phi(B_T) \right] $$ 在這裡 $$ B_t = \frac{1}{N} \sum{i=1}^N S_t^{(i)} $$ 這[數學處理錯誤] [r數學處理錯誤] $ t $ -籃子的價值， $ r $ 無風險利率（貨幣可以存入貨幣市場的利率，在這裡你可以以 EONIA 貼現曲線為例）。 在數學上，風險中性度量[數學處理錯誤] $ \mathbb{Q} $ 被定義為：
$$ F(0,T) = \mathbb{E}_0^\mathbb{Q}[ S_T ] $$ 在哪裡 $ F(0,T) $ 是遠期價格 $ T $ 權益 $ S $ 如所見 $ t=0 $ . 最後幾個方程式背後隱藏著很多理論，我建議您使用一本好的參考書進行調查，例如Shreve。也許這篇文章也是一個好的開始。無論如何，結果是你的模型最終應該是這樣的：
[數學處理錯誤]$$ \frac{dS_t^{(i)}}{S_t^{(i)}} = \frac{\partial \ln F^{(i)}(0,t)}{\partial t} dt + \sigma^{(i)}(…) dW_t^{(i),\mathbb{Q}} $$ 在推動各個指數價格的布朗運動之間具有一定的依賴結構。 籃子定價 101
從上面你可以看到：
$$ V_0 = e^{-rT} \int_0^\infty \phi(B_T) p(B_T) dB_T $$ 換句話說，如果你知道機率分佈[數學處理錯誤] $ B_T $ 你已經完成了，因為你可以：（1）執行數值求積並獲得期權價格（2）從終端分佈樣本並使用蒙特卡羅模擬計算期望值。(1) 是什麼時候 $ p(B_T) $ 是已知的封閉形式，（2）更一般。 很容易證明前 2 個時刻 $ B_T $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 是：
$$ B(0,T) = \mathbb{E}0^\mathbb{Q}[B_T] = \frac{1}{N} \sum{i=1}^N F^{(i)}(0,T) $$ （即期望的總和） $$ \sigma^2_B = \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i=1}^N \sigma^{2,(i)} + 2 \sum_{j=1}^i \rho_{ij} \sigma^{(i)} \sigma^{(j)} \right) $$ （即共變異數之和） $$ Model Type 1 $$ 認為 $ B_T $ 是對數正態的，上面給出的第一時刻。這只是一個近似值，因為我們知道 $ N $ 對數正態變數不是對數正態變數。但它允許您使用 BS 公式計算籃子的價格：
$$ V_0 = e^{-rT} ( B(0,T) N(d_+) - K N(d_-) ) $$ [Math Processing Error]$$ d_\pm = \frac{\ln\left(\frac{B(0,T)}{K}\right) \pm \frac{1}{2}\sigma^2_B T}{\sigma_B \sqrt{T}} $$ $$ Model Type 2 $$ 使用移位的對數正態近似 $ \phi(B_T) $ ，或與此相關的任何其他已知分佈。這個想法是你已經知道前兩個理論時刻[Math Processing Error] $ B_T $ 您可以使用標準微積分輕鬆寫出第三個甚至第四個時刻。然後，您將已知分佈擬合到未知分佈[Math Processing Error] $ B_T $ 通過匹配他們的時刻。這稱為矩匹配。在移位對數正態的情況下，這會導致一個封閉形式的公式。
$$ Model Type 3 $$ 您考慮每項資產的真實邊際[Math Processing Error] $ S_t^{(i)} $ IE
[Math Processing Error]$$ p^{(i)}(x) = \frac{d F^{(i)}(x)}{d x} = \frac{d \mathbb{Q}\left(S_T^{(i)} \leq x\right)}{ dx} $$ where [Math Processing Error] $ F^{(i)} $ is the [Math Processing Error] $ i^{th} $ asset cumulative distribution function. You can infer the above risk-neutral probabilities from listed option prices using the Breeden-Litzenberger idendtity, see here.
Now that you have identified the marginal distributions of each asset [Math Processing Error] $ S_t^{(i)} $ , you need to define their dependence structure so that you can eventually obtain their joint distribution from which you will be able to infer the distribution of [Math Processing Error] $ B_t $ since:
[Math Processing Error]$$ p(B_t \in A) = \int_{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \in A} p\left(x_1,…,x_N\right) dx_1 … dx_N $$ 您可以使用copula來形成聯合分佈 $ F^B(x) $ 從邊緣的知識 $ F^{(i)}(x) $ . [Math Processing Error]$$ Basket model $\infty$ $$ 當然上述方法有很多變種
- 例如，取決於上面模型 3 中使用的 copula 的選擇。高斯是通常的首選，但您可以選擇任何其他依賴結構。一個解釋了當市場崩盤時相關性爆炸的事實似乎是一個更好的選擇。參見相關偏斜問題。
- 您可以使用局部波動率 + 瞬時相關性來代替將單個邊際與高斯 copula 耦合。選擇不同的 copula 相當於定義不同的局部相關結構。這仍然是一個開放的研究課題，參見Langnau、Guyon等人在這方面的工作。
- 小心去相關問題和著名的瞬時與終端相關辯論
$$ Additional details $$
- 為了對自動呼叫功能進行定價，建立一個混合股權利率模型（即使用隨機利率）可能會很有趣。
- 出於同樣的原因，考慮離散現金股息而不是離散比例股息也可能有用。
- 要為組合功能定價，您需要了解外匯遠期。要對 quanto 功能進行定價，您需要了解外匯波動率（請參閱 quanto 漂移調整），有時更多取決於您是否將股票波動率視為隨機過程。
$$ Your implementation $$ 您可能想知道您的實現對應的模型是什麼。假設您使用適當的股票遠期曲線來建構各個指數的風險中性漂移 + 使用隱含波動率數（即不是根據實際衡量標準估計的數量[Math Processing Error] $ \mathbb{P} $ 例如預期收益和歷史波動率，而是從提供的上市期權價格推斷的數量[Math Processing Error] $ \mathbb{Q} $ )，您所做的對應於假設通過高斯 copula 組合的對數正態邊際。
這是介於模型 1 之間的（比你的更糟糕，因為它假設[Math Processing Error] $ B_t $ 是對數正態分佈，但表現出正確的前 2 個時刻）和模型 3（這比你的更好，因為它使用真正的隱含邊際而不是對邊際的對數正態假設）。
祝你好運