布朗增量的積分
我遇到了一個問題，我不確定如何繼續。我的問題是如何進行並整合以下內容 $$ \sigma\int_{t}^{T}\mathrm{e}^{a\cdot u}\cdot (W_{u}-W_{t})du. $$ 我已經被這個問題困擾了很長一段時間。先謝謝了！
通過布朗運動增量的平穩性，我們有以下法律上的等式和來自變數的簡單變化的幾乎肯定的等式 $$ \sigma \int_t^T e^{au} \left(W_u - W_t\right)du \overset{law}{=} \sigma \int_t^T e^{au}W_{u-t}dt = \sigma \int_0^{T-t} e^{a\left(u + t\right)}W_{u}du = \sigma e^{at}\int_0^{T-t}e^{au}W_udu $$
計算 $ \int_0^{T-t}e^{au}W_udu $ ,
編輯：此點之後的參數包含關鍵錯誤。 $ W_{T-t} $ 不獨立於 $ \int_0^{T-t}e^{au}dW_u $ . 還是可以計算的 $ \int_0^{T-t}e^{au}W_udu $ 通過使用它是一個高斯過程的事實。感謝 LucaMac 的擷取並查看他們的答案以了解詳細資訊。
我們使用分部集成來獲得 $$ \int_0^{T-t}e^{au}W_udu = \frac{1}{a}e^{a\left(T-t\right)}W_{T-t} - \frac{1}{a}\int_0^{T-t}e^{au}dW_u $$ 作為維納積分， $ \int_0^{T-t}e^{au}dW_u \sim \mathcal{N}\left(0, e^{2a\left(T-t\right)} - 1\right) $ 和
獨立於 $ W_{T-t} $ . 此外 $ e^{a\left(T-t\right)}W_{T-t} \sim \mathcal{N}\left(0, e^{2a\left(T-t\right)}\left(T-t\right)\right) $ ，因此我們有 $$ \int_0^{T-t}e^{au}W_udu = \frac{1}{a}\left[e^{a\left(T-t\right)}W_{T-t} - \int_0^{T-t}e^{au}dW_u\right] \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{e^{2a\left(T-t\right)}\left(T-t + 1\right) - 1}{a^2}\right). $$ 最後乘以 $ \sigma e^{at} $ 在開始時留下的因素我們得到你的積分具有均值為 0 和變異數的正態分佈 $ \sigma^2e^{2at}\frac{e^{2a\left(T-t\right)}\left(T-t + 1\right) - 1}{a^2} $ :$$ \sigma \int_t^T e^{au} \left(W_u - W_t\right)du \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^2e^{2at}\frac{e^{2a\left(T-t\right)}\left(T-t + 1\right) - 1}{a^2}\right). $$