在不同的計價和措施下一致的衍生品價格的直覺
這本質上是基本定理，但是我並不要求徹底證明，我對一般直覺更感興趣。
換句話說，無論你的記賬單位（計價單位）是什麼，你的衍生品價格都應該是一樣的，這是有道理的。但是，讓我們以 Libor 市場模型為例：
在下面 $ T_i $ - 遠期措施（即使用按時到期的零息債券 $ T_i $ 作為計價標準），Libor $ L(t,T_{i-1},T_i) $ 是鞅，漂移為零。我們可以把這個過程寫成： $$ dL(t,T_{i-1},T_i) = \sigma L(t,T_{i−1},T_{i}) dW^{T_i}(t). $$ 解決方案是 Black 76 公式。
將措施轉移到 $ T_{i-1} $ - 遠期措施（即使用按時到期的零息債券 $ T_{i-1} $ , as numeraire)，Libor 獲得一個漂移項，過程變為： $$ dL(t,T_{i-1},T_i) = rL(t,T_{i−1},T_{i})dt + \sigma L(t,T_{i−1},T_{i}) dW^{T_{i-1}}(t) $$ 在哪裡 $ dW^{T_i}(t) $ 在下面 $ T_{i-1} $ 是一個不同的過程 $ dW^{T_{i-1}}(t) $ 在下面 $ T_i $ 措施。
上面第二個方程的解不再是 Black-76 公式，而是帶有漂移項的 Black-Scholes 公式（漂移 $ r $ 是一個複雜的術語，但為了這個例子，我們不需要擔心）。
這裡的邏輯錯誤在哪裡？我的理解是，遠期 Libor 上的 Caplets 和 Floorlets 始終使用 Black 76 公式定價，因此應該始終沒有漂移。
非常感謝，J。
您的動態下 $ T_{i-1} $ - 前向測量是錯誤的。
具體來說，讓 $ P_{i-1} $ 和 $ P_i $ 分別是 $ T_{i-1} $ - 和 $ T_i $ - 前向機率測量。此外，讓 $ \Delta_i = T_i-T_{i-1} $ . 那麼，對於 $ 0\le t \le T_{i-1} $ , $$ \begin{align*} \eta_t &\equiv \frac{dP_{i-1}}{dP_i}\big|t \ &= \frac{P_i(0, T_i)}{P{i-1}(0, T_{i-1})}\frac{P_{i-1}(t, T_{i-1})}{P_i(t, T_i)}\ &=\frac{1+\Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)}{1+\Delta_i L(0, T_{i-1}, T_i)}. \end{align*} $$ 此外， $$ \begin{align*} d\eta_t &= \frac{ \sigma\Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)}{1+\Delta_i L(0, T_{i-1}, T_i)}dW_t\ &=\frac{\sigma \Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)}{1+\Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)} \eta_t dW_t. \end{align*} $$ 因此，在 $ P_{i-1} $ , $$ \begin{align*} dL(t, T_{i-1}, T_i) &= L(t, T_{i-1}, T_i)\left(\frac{\sigma^2 \Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)}{1+\Delta_i L(t, T_{i-1}, T_i)} dt + \sigma d\widehat{W}t\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {\widehat{W}t, 0\le t \le T{i-1}} $ 是一個標準的布朗運動 $ P{i-1} $ .