對股價計價漂移的直覺
我想問一下Stock numeraire下的價格過程漂移是否存在直覺。
我發現貨幣市場計價法下的鞅測度很直覺地導致了所有價格過程的漂移“ r ”（通過適當的測度變化）：隨著貨幣市場以“r”率連續複利，所有價格都需要在這個利率“r”，否則貨幣市場計價法貼現的價格過程不會是鞅（即任何不會在“r”處漂移的價格過程都會引起現貨和遠期之間的套利，即會出現錯誤-如果價格過程沒有在“r”處漂移，則遠期在貨幣市場計價下的定價）。
同樣適用於確定利率下的貼現債券計價（因為確定利率下的債券計價最終是按常數縮放的貨幣市場計價）。
但是，我還沒有設法為股票價格計價建立類似的推理。
我們知道Stock numeraire下的股票價格過程是：
$$ \begin{align*} \frac{dS}{S} &= rdt + \sigma dW_t\ &=\big(r+\sigma^2\big)dt + \sigma d \widehat{W}_t. \end{align*} $$
以上， $ W_t $ 是在與貨幣市場計價相關的風險中性度量下的標準布朗運動，而 $ \widehat{W_t} $ 是與 Stock numeraire 相關的定價度量下的標準布朗運動。
為什麼 Stock numeraire會引起漂移：
$$ \begin{align*} &\big(r+\sigma^2\big) \end{align*} $$
為什麼（直覺地）能夠以股票的利率借款意味著價格過程必須有這種漂移？
太感謝了，
作為一般原則，我會警惕對測量技術變化的經濟或金融解釋。更改numéraires只是一種簡化定價的數學工具，例如參見此答案的最後一部分。不過，這是我對你的問題的看法。
將計價表視為您經濟的基本金融資產，即價值儲存。在現實生活中，您可以將錢存入存款賬戶或貨幣市場賬戶。現在，這些被認為是無風險的（或者至少，我們假設），因此它們只產生無風險利率 $ r $ 沒有回報波動。
現在考慮一個你的基本金融資產是股票的經濟體 $ S $ ：例如，當您的雇主每月支付您的工資時，它不是將其存入存款帳戶，而是為您購買股票。在 Black-Scholes 環境中，請注意： $$ \begin{align} V^S\left(\frac{dS_t}{S_t}\right)&=V^S\left(\sigma d\widehat{W}_t\right) \ &=E^S\left(\sigma^2d[\widehat{W},\widehat{W}]_t\right) \[3pt] &=\sigma^2dt \end{align} $$ 因此，您的回報變異數是 $ \sigma^2 $ 每一個無限小的時間單位。因此，如果股票是您經濟的基本價值儲存手段，那麼經濟主體會要求對他們所承擔的風險進行補償並期望比簡單的無風險利率更高的回報是可以理解的 $ r $ .
附錄：一般來說，在一個有措施的經濟體中 $ P $ ，與某個資產編號相關聯 $ N $ , 個人風險偏好沒有通過 $ N $ （與物理測量相反，其數值直接代表匯總的風險偏好）。我們可能會解釋風險 $ N $ 作為經濟的平穩風險厭惡 $ P $ .