有沒有可能在布萊克-斯科爾斯的領導下：ln小號噸∼N(ln小號噸−12σ2（噸-t),σ2（噸-t))ln小號噸∼ñ(ln小號噸−12σ2(噸−噸),σ2(噸−噸))ln S_{T} sim N left ( ln S_t - frac…
我有一張幻燈片，上面寫著在 Black-Scholes 模型下：
$$ \ln S_{T} \sim N \left ( \ln S_t - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t), \sigma^2(T-t) \right ) $$ 現在，這裡有一個很好的解釋：
$$ \ln{\frac{S_{T}}{S_t}} \sim N\left ((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t), \sigma^2 (T-t) \right ) $$ 但這並沒有解決我的問題。事實上，我看不出如何從第二個方程到第一個方程。我認為有什麼問題。我對嗎？
感謝@Phun 和@oliversm 我解決了這個問題。所以我在這裡發布解決方案，以防有人需要它。
在 Black-Scholes 下，資產動態由幾何布朗運動決定，我們可以定義證券的價格 $ t+\Delta t $ 作為：
$$ S_{t+\Delta t}=S_{t}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\varepsilon\right)\qquad\varepsilon\sim N(0,1) $$ 定義 $ T=t+\Delta t $ 並替換上面導致：
$$ S_{T}=S_{t}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\left(T-t\right)+\sigma\sqrt{T-t}\varepsilon\right)\qquad\varepsilon\sim N(0,1) $$ 現在，在風險中性機率定價下，漂移項 $ \mu $ 可以用利率代替，並設置 $ r=0 $ 導致：
$$ S_{T}=S_{t}\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right)+\sigma\sqrt{T-t}\varepsilon\right)\qquad\varepsilon\sim N(0,1) $$ 按照此處說明的過程，很容易證明：
$$ \frac{S_{T}}{S_{t}}\sim\ln N\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right),\sigma^{2}\left(T-t\right)\right) $$ 或等效地：
$$ \ln S_{T}\sim N\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right),\sigma^{2}\left(T-t\right)\right) $$ 此時讓我們定義 $ S = \ln (S_T / S_t) = \ln(S_T) - \ln(S_t) $ . $ S_t $ 在時間上是已知的 $ t $ ，所以我們可以添加 $ \ln S_t $ 至 $ S $ . $ S+\ln S_t $ 將呈正態分佈，均值：
$$ \ln S_t-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right) $$ 和變異數：
$$ \sigma^{2}\left(T-t\right) $$ 所以：
$$ S+\ln S_{t}\sim N\left(\ln S_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right),\sigma^{2}\left(T-t\right)\right) $$ 但是由於 $ S+\ln(S_t)=\ln(S_T) $ 它遵循：
$$ \ln S_{T}\sim N\left(\ln S_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right),\sigma^{2}\left(T-t\right)\right) $$
從 Black-Scholes 模型開始
$$ \dfrac{dS}{S} = \mu :dt + \sigma:dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是標準布朗運動，並且 $ \sigma $ 和 $ \mu $ 是恆定的 $ \sigma > 0 $ . 這裡 $ W_t $ 是物理量度下的布朗運動 $ \mathbb{P} $ . 然後我們可以使用 Girsanov 定理將度量更改為風險中性度量 $ \mathbb{Q} $ 我們現在可以擁有的地方 $ \mu \to r $ ，但這需要 $ \sigma \neq 0 $ . 使用隨機演算，我們可以將上面的右手邊寫成一個隨機過程 $ dX_t $ 然後我們可以通過使用 Dolean 隨機指數來簡單地解決這個問題，如果我們將積分限製作為域 $ [t,T] $ 然後我們恢復
$$ S_T = S_t \exp \left( \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t) + \sigma(W_T - W_t)\right). $$ 現在我們觀察到 $ S_T $ 具有對數正態分佈 $$ \log(S_T) \sim N\left(\log(S_t) + \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\right) $$ 然後我們可以通過以下方式對雙方進行貶義 $ \log(S_t) $ 在哪裡 $$ \log(S_T) - \log(S_t) \sim N\left(\log(S_t) + \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\right) - \log(S_t) $$ $$ \log\left(\dfrac{S_T}{S_t}\right)\sim N\left(\left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\right) $$ 如果我們再考慮以下情況 $ r=0 $ 然後我們恢復問題中所述的方程。上述微妙的方面是：
- 知道如何正確整合隨機過程。
- 知道如何應用 Girsanov 定理來改變測量 $ \mathbb{P} \to \mathbb{Q} $ 這樣在我們的方程中 $ \mu \to r $ .
我希望這有幫助。