是否可以使用有限差分方法對路徑相關子句進行建模？
我正在嘗試建立一個可轉換債券定價器。在我的例子中，可轉換債券是一種複雜的衍生工具，帶有看漲、看跌和轉換價格重置條款，所有條款都以路徑依賴的方式觸發。例如，呼叫子句可能是：
在連續 30 個交易日內，如果股票收盤價在 15 個交易日內大於轉換價格的 130%，則發行人可以選擇贖回債券。
在現階段，我仍在尋找合適的模型。考慮到路徑依賴性，我認為蒙地卡羅是唯一的出路。考慮到美國性質的看漲/看跌/重置能力，LSMC（最小二乘蒙地卡羅）似乎是唯一的選擇。
但是，由於具有不確定性且非常複雜，LSMC 應該是最後的手段。如果可能的話，我更喜歡更簡單的方法，例如有限差分方法和樹方法，但它們似乎都不能處理 call/put/reset 子句中包含的路徑依賴性。
有沒有辦法在樹模型/有限差分模型而不是 LSMC 中以某種方式適應這種路徑依賴性？謝謝！
在有限差分/格求解器中處理路徑依賴性的常用方法是通過一個或多個輔助變數來擷取路徑依賴性，這些輔助變數使問題在增廣空間中不依賴於路徑，並沿著這些輔助變數離散化）。
例如，對於通過擷取路徑依賴關係的亞洲選項來說，這很容易完成 $ M_t = $ 具有動態的平均股票價格 $ M_{t+1} = (t M_t + S_{t+1})/(t+1) $
在您的情況下，一個連續 30 天中有 15 天高於 130 的巴黎條款，它有點複雜，如果我沒記錯的話，您將需要 29 個布爾輔助變數來跟踪股票是否高於 130過去 29 天的每一天，所以這是一個額外的維度 $ 2^{29} $ 這使得問題難以解決。
但是，您可以查看連續 15 天中的 15 天高於 130 的情況，在這種情況下，您只需要一個輔助變數 $ N_t = $ 股價連續多天高於130。那麼動態為 $ N_t $ 是 $$ \begin{eqnarray*} N_{t+1} &=& N_t + 1 \text{ if } S_{t+1} \geq 130 \ N_{t+1} &=& 0 \text{ if } S_{t+1} < 130 \ \end{eqnarray*} $$
無論如何，因為低利率 $ \mathbb{E}t[S{t+n}] \approx S_t $ 當沒有股息時，從初始定價來看，連續 30 天中的 15 天條款或簡單的一鍵式條款應該沒有太大區別。一旦你接近 130（特別是如果你已經開始累積超過 130 的天數），它就真的很重要了。
希望能幫助到你。
編輯：您還可以注意到，一次觸摸給出了子複製價格（發行人的選擇權比實際的 15/30 條款更多），而 15/15 給出了超級複製價格（發行人的選擇權比 15/30 少子句），所以真正的價格是介於兩者之間。