布萊克對美式期權的近似不是不一致嗎？
我遇到了費舍爾·布萊克（Fisher Black）提出的一個公式（Fact and Fantasy in the use of options，FAJ，1975 年 7 月至 8 月，第 36 頁），用於估算支付股息股票的美式看漲期權的價格。有關更多詳細資訊，請參閱 Wikipedia 的文章Black 的近似值。
考慮目前價格的股票 $ S_0 $ , 支付股息 $ D $ 在日期 $ t_D $ ; 股息金額和支付日期都是當時已知的 $ t=0 $ . 還考慮一個帶有行使價的美式看漲期權 $ K $ 和到期日 $ T $ ; 我們可以寫出它的 Black-Scholes 價格 $ C_A $ 作為一個函式： $ C_A = C_A(S_0,K,T) $ . 讓 $ C_E $ 是歐式看漲期權的價格；那麼布萊克的近似 $ C_A^{FB} $ 為了 $ C_A $ 是：
$ C_A(S_0,K,T) \approx C_A^{FB}(S_0,K,T) = max[C_E(S_0-De^{-rT},K,T),C_E(S_0,K,t_D-1)] $
我理解這個近似值背後的財務邏輯；然而令我震驚的是，它與布萊克-斯科爾斯理論不一致。事實上，我們必須有：
$ C_E(S_0-De^{-rT},K,T)<C_E(S_0,K,T) $
$ C_E(S_0,K,t_D-1)<C_E(S_0,K,T) $
因此：
$ C_A^{FB}(S_0,K,T)<C_E(S_0,K,T) $
因此，美國看漲期權的近似價格總是低於其歐洲同行，而美國期權至少與歐洲同行一樣有價值。
我的推理有什麼問題嗎？鑑於這種不一致的特徵，有人理解這種近似的邏輯嗎？
$$ EDIT $$
應使用因子折現股息 $ e^{-rt_D} $ ， 不是 $ e^{-rT} $ .
你的論點存在邏輯謬誤。
在股息支付前 1 天到期的歐式看漲期權的價格很可能高於在其後到期的看漲期權的價格。
換句話說，聲稱
$$ C_E (S_0,K,t_D-1\text {day}; D, t_D) < C_E (S_0,K,T; D, t_D) $$ 不一定是真的。
嘗試上述不等式並獲得巨大的紅利（例如 $ D = 90% $ 目前現貨價格的 $ S_0 $ ) 支付 $ t_D $ 和 $ T = t_D + 1\text {day} $ 說服自己。
$$ Edit $$
讓 $ BS(S_0,K,T) $ 表示標準 Black-Scholes 公式。
如果具有一個離散股息的美式看漲期權的價值由您所指的 Black 近似值給出：
$$ C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D) = \max(BS(S_0-De^{-rt_D},K,T), BS(S_0,K,t_D-1/252)) $$ 那麼您應該將其與帶有 1 個離散股息的歐式看漲期權的價值進行比較，該股息通常由以下公式給出： $$ C_E(S_0,K,T;D,t_D) = BS(S_0-De^{-rt_D}, K, T) $$ （假定託管模型）而不是簡單地 $ C_E(S_0,K,T) $ . 因此，您的問題是雙重的：
- 你應該使用 $ De^{-r t_D} $ 並不是 $ De^{-rT} $ 資本分配的現值
- 你一直在使用 $ C_E(S_0,K,T) $ 作為參考（不考慮股息），而您應該真正使用 $ C_E(S_0,K,T;D,t_D) $
使用上面的符號，很明顯 $ C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D) $ 將永遠大於 $ C_E(S_0,K,T;D,t_D) $ ， 因為
$$ \begin{align} C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D) &= \max( C_E(S_0,K,T;D,t_D), BS(S_0,K,t_D-1/252) ) \ &\geq C_E(S_0,K,T;D, t_D) \end{align} $$