期權定價
當波動率達到無窮大時，數字看漲期權和看跌期權價格的限制
Black-Scholes 模型中的數字呼叫價格由下式給出 $$ c^d = \Phi (d_-), \qquad p^d = \Phi (-d_-), \qquad \text{with} \qquad d_- = \dfrac{\log S_t / K}{\sigma \sqrt{T}} - \dfrac{1}{2}\sigma \sqrt{T}. $$
我假設 $ r = 0 $ ，因為利率與問題無關。
很容易看出，隨著波動性趨於無窮大，數字看漲期權的價格將趨於零，而數字看跌期權的價格將趨於一。此外，價格與貨幣無關。以數字電話為例，人們可能會爭辯說，這個限制是有道理的，因為人們可以將數字電話的價值理解為無限窄電話傳播的限制。當波動性增加時，兩個價格相互接近，因此差異為零。然而，我們可以看到這個練習只適用於數字看漲期權，而對數字看跌期權無效。
直覺地說，為了簡單起見，讓我們考慮一個 ATM 案例，我認為 $ \sigma $ 增加，分佈趨於平緩，因此期權完成 OTM 和 ITM 的可能性為 50-50。因此，天真地，我將數字看漲期權和看跌期權定價為 0.5。但顯然情況並非如此，如開頭所述。
所以問題是，最後一段的推理中失敗的地方是什麼？
您的直覺對於對稱分佈是正確的。然而，正如 Black-Scholes 模型所假設的，對數正態分佈是非對稱分佈。我已經說明了增加波動性的影響，同時保持其他一切平等。機率質量被壓向零。
我憑直覺思考這個問題的方式是，零是這個過程的一個吸收障礙。這意味著當程序達到零時，程序就會“死亡”。如果波動率趨於無窮大，那麼在期權生命週期中觸及吸收障礙的機率將趨於 1。因此，看跌期權的價格應該是 1，而看漲期權的價格應該是零。
