從二叉樹推導對數正態風險中性價格，不清楚推導過程中的步驟
在 M. Joshi的《數學金融的概念和實踐》一書第 2 版的第 64 頁，第 3.7.2 段（樹和期權定價 - 對數正態模型 - 風險中性世界行為）提出了一個快速練習：
顯示$$ \mathbb{E}( \exp(\sigma \sqrt{T} N(0,1) ) ) = \exp(0.5 , \sigma^2 T) $$ 在哪裡 $ \mathbb{E} $ 表示括號內表達式的期望值，其中 $ \sigma $ 是標的資產的波動率， $ T $ 是期權到期時間，並且 $ N(0,1) $ 是正態分佈。
如何驗證這種關係？沒有提供解決方案。
就上下文而言，該術語有助於簡化資產到期時的對數正態預期值，$$ \mathbb{E} (S_T) = \mathbb{E}(S_0 exp{((r - 0.5 \sigma^2) T + \sigma \sqrt{T} N(0, 1))} $$至$$ \mathbb{E} (S_T) = S_0 exp({r T}) $$
編輯：這個問題作為練習 3.13 重新出現在數學金融的概念和實踐，第 2 版的第 72 頁。解決方案在本書的後面，並遵循下面接受的答案中提供的行。
讓 $ X\sim N(0,1) $ 是標準正態變數並且 $ \alpha:=\sigma\sqrt{T} $ ，然後通過正態變數的期望和分佈的定義： $$ \begin{align} \mathbb{E}\left(e^{\alpha X}\right) &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\alpha x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\alpha x+\frac{1}{2}\alpha^2-\frac{1}{2}\alpha^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \ &=e^{\frac{1}{2}\alpha^2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(x^2-2\alpha x+\alpha^2\right)}dx \ &=e^{\frac{1}{2}\alpha^2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2}}dx \[3pt] &=e^{\frac{1}{2}\alpha^2} \end{align} $$ 最後一步僅僅是最後一個積分超過具有均值的正態變數的機率密度函式的結果 $ \alpha $ 和變異數 $ 1 $ 取整實數 $ \mathbb{R} $ ，因此它積分為 1。
有趣的是，表達式 $ \mathbb{E}(e^{-\beta X}) $ 和 $ \beta:=-\alpha $ 有時稱為隨機變數的（兩側）拉普拉斯變換 $ X $ .