百慕大期權價格的下限
我有以下問題。百慕大期權的價格由下式給出 $$ \begin{align*} V_{0} = \sup_{\tau \in \mathcal{T}(0,\dots, T)} \mathbb{E}[f_{\tau}(X_{\tau})]. \end{align*} $$
可以使用 Monte-Carlo 來近似這個價格，並將延續值定義為 $$ \begin{align*} q_{t}(x) = \sup_{\tau \in \mathcal{T}(t+1, \dots, T)}\mathbb{E}[f_{\tau}(X_{\tau})\mid X_{t} = x]. \end{align*} $$
我現在的問題是，為什麼在通過遞歸計算延續值時我會得到百慕大期權價格的下限 $$ \begin{align*} q_{t}(x) = \mathbb{E}[\max{f_{t+1}(X_{t+1}), q_{t+1}(X_{t+1})} \mid X_{t} = x]? \end{align*} $$
是不是因為 $ supremum $ 的延續值總是小於 $ supremum $ 實際停止問題，因為停止時間的範圍是另一個的子集？
此致，
彼得
它取決於函式 f 的凸性。我想你已經聽說過沒有分紅時，美國看漲期權價格與歐洲看漲期權價格相同的事實。它對百慕大看漲期權仍然有效，因為它的價格介於美國看漲價格和歐洲看漲價格之間。
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你猜對了原因。當您嘗試估計樣本中的上確界時，您的估計值確實小於（如果幸運的話，則等於）真正的上確界。
獲得價格上限的另一種方法是 Andersen-Broadie 算法，它估計一組（離散）鞅的下確界，由於相反的原因，它總是大於（或等於）真正的下確界:)
關於這個話題有很多很好的參考資料，我個人很喜歡 Guyon 和 Henry-Labordère 的非線性期權定價