Mark Joshi，數學金融的概念與實踐第 6 章練習 20,21
找到支付期權的布萊克-斯科爾斯價格
$$ (S_T^{\alpha} - K)_{+} $$有時 $ T $ .
解決方案 - 遠期價格由下式給出
$$ F_T(t) = e^{r(T-t)}S_t $$ 所以，
$$ F_T(0) = e^{rT}S_0 $$ 和
$$ F_T(T) = S_T = F_T(0)e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma\sqrt{T}N(0,1)} $$ 所以，
$$ \begin{align*} F_T(T)^{\alpha} &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)}\ &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}e^{- \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2} + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)} \end{align*} $$ 然後將黑色公式用於具有遠期價格的看漲期權
$$ F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}} $$ 和波動性 $ \alpha\sigma $ .
問題：
我不明白為什麼 Joshi 在這部分解決方案中拆分指數：
$$ \begin{align*} F_T(T)^{\alpha} &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)}\ &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}e^{- \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2} + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)} \end{align*} $$ 我不明白然後得出結論我們使用黑色公式作為遠期價格的看漲期權的邏輯
$$ F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}} $$ 和波動性 $ \alpha \sigma $ .
最後，在練習 21 中，我們被要求為看跌期權定價 $ (K - S_T^{\alpha})_{+} $ . 步驟與波動率項完全相同 $ \alpha\sigma \sqrt{T} $ ，這對我來說沒有意義。非常感謝您對這些問題提出任何建議。
注意
$$ \begin{equation} E\big[e^{\sigma \alpha \sqrt{T} N(0,1)}\big] = e^{\frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}T} \end{equation} $$ 因此 $ F_T(T)^\alpha $ 將是具有期望值的對數正態變數 $ F_T(0)^\alpha e^{-\frac{1}{2}\sigma^2T \alpha + \frac{1}{2}\sigma^2 \alpha^2T} $ 和對數變異數 $ \sigma^2 \alpha^2 T $ . 將此與計算看漲期權價格的 Black 公式進行比較，其中您也有一個對數正態變數，但預期值為遠期的目前價格，變異數為 $ \sigma^2T $ . 看跌期權的情況類似，您可以使用看跌期權的黑色公式或使用先前的答案和看跌期權平價。