量化金融中的測度論
當我閱讀隨機建模時，“測量”的使用出現了很多。到目前為止，我只是將“測量”一詞讀為“機率”或“分佈”，並且在嘗試非正式地理解各種模型（Black、Dupire、Hull White ..）的概念和結果時能夠僥倖逃脫，在一個基本水平。
我必須承認，我無法遵循推導中每一步的嚴格證明。
誰能告訴我測度論在隨機建模中的意義是什麼？
我確實理解機率度量的定義比僅僅說“機率”更籠統和嚴格。但除了嚴格的定義之外，是否有一些經常用於隨機建模的測度理論的有用結果？
非常感謝並原諒我的無知。
測度理論幫助我們克服了建構測度的一些缺點（機率測度範圍為 $ [0,1] $ ）。經典機率論對樣本空間的機率模型有效 $ \Omega $ 是有限集或可數集 ( $ P: 2^{\Omega} \to [0,1] $ ）。但是對於不可數集，例如 $ \mathbb{R} $ （這是不可數的）構造不足。測量理論機率，感謝 H.Lebesgue 和 C. Carathéodory 能夠在不可數集上建構測量。度量的定義 $ \mu $ ，首先需要定義外測度 $ \mu ^. $
外部度量是映射 $ \mu^:2^{\Omega} \to [0,+ \infty) $ :
$ \mu^*(\emptyset)=0 $
如果 $ A \subset B $ ， 然後， $ \mu^(A) \leq \mu^(B) $
如果 $ {A_i} \in 2^{\Omega} $ ，一系列事件，然後 $ \mu^(\bigcup A_i) \le \sum_i \mu^(A_i) $
我們想定義一個子集 $ \mathcal{F} \subset 2^{\Omega}, $ 使得 3) 變成一個等式（這個性質稱為可數可加性）。使用 Carathéodory 的條件，我們能夠構造這樣一個集合 $ \mathcal{F} $ ，這被稱為 $ \sigma- $ 代數。一個措施是 $ \mu $ 只是限制在外的措施 $ \mathcal{F} $ , $ \mu=\mu^{*} \mid_\mathcal{F} $ .下一步是定義最小的 $ \sigma- $ 代數，它是所有的交集 $ \sigma- $ 代數。這組是 Borel 代數。我們繼續這種方式。
測度論為可測函式的積分、幾乎處處收斂、Fatou引理、Borel Cantelli引理等提供了更穩健的方法。
這是部分答案。
Scholes 和 Merton 1973 最初用偏微分方程推導出了 Black-Scholes 方程——他們假設連續時間不間斷交易和無套利，並找到了一個可以用一些硬核解決的 PDE（但工程類型，即不是令人眼花繚亂的抽象，只是真的很難做到）數學。
後來 Black-Scholes 用隨機微分方程重新表述。因此，不是假設連續交易，而是假設股票（對數）價格表現得像布朗運動 $ d\log(S) = \mu + \sigma dW_t $ （這或多或少是相同的，因為布朗運動是所有隨機遊走的連續時間限制）與漂移。但是指定一個漂移參數就是對股票的未來行為做出假設，這當然是行不通的。
但為什麼它不起作用？當然是套利。套利是建立在 Scholes-Merton PDE 方法中的。我們如何在隨機過程的世界中反映這一點？我們改變措施。
“樸素機率論”中的一切都是根據“環境”度量來隱式定義的 $ \mathbb P $ 這在金融中被稱為“歷史”或“物理”機率測度。這實際上是在現實世界中存在的機率。但事實證明（Girsanov 定理），有一個機率測度 $ \mathbb Q $ ，“無風險測量”，您可以將過程的漂移從物理測量下的值更改為其他值。通過一些額外的假設和數學來定義投資組合和套利機會，你會發現你應該使用無風險利率作為下的漂移 $ \mathbb Q $ . 然後你解方程而不做關於物理漂移的假設。
實際上早在 1973 年之前，交易員就已經在使用類似 Black-Scholes 模型的交易知識，但這些都使用了帶有漂移的布朗運動——誰能真正聲稱股市與無風險利率一起波動？事實證明，由於 Girsanov 定理和投資組合過程，我們可以像生活在無風險世界中一樣進行整個數學運算。