沒有免費的午餐和弱星拓撲
無免費午餐說明如下
弱星拓撲在這裡的意義是什麼。據我所知，弱星拓撲是在巴拿赫空間的對偶上定義的。那麼這裡考慮的空間是什麼
弱者的語境 $ ^* $ 拓撲和沒有免費的午餐通常是資產定價第一基本定理的證明。以下所有想法均來自Delbaen 和 Schachermayer (1994)。
符號
假設價格過程是半鞅 $ S $ . 讓 $ K_0 $ 代表由可接受的交易策略（自籌資金和零初始成本）產生的所有索賠的空間。可以證明 $ K_0 $ 是一個凸錐 $ L^0 $ .
讓 $ C_0=K_0-L_+^0 $ . 因此， $ C_0 $ 包含比交易策略更差的交易策略 $ K_0 $ （元素 $ C_0 $ 由以下元素主導 $ K_0 $ ）。因為 $ L_+^0 $ 包含 $ {0} $ , $ C_0 $ 還包含來自的聲明 $ K_0 $ . 我們通過設置將自己限制為有界聲明 $ C=C_0\cap L^\infty $ .
概括： $ C $ 包含交易時可以複製的所有有界收益 $ S $ （或更糟糕的說法）。
筆記： $ L_+^0 $ 和 $ C $ 是凸集。
為了更有趣，讓我們引入更多符號：
- 套裝 $ \bar{C} $ 是關閉 $ C $ 關於範數拓撲 $ L^\infty $ ,
- 套裝 $ \bar{C}^* $ 是弱者 $ ^* $ 關閉 $ C $ ,
- 套裝 $ \tilde{C} $ 包含所有弱的限制 $ ^* $ 元素的收斂序列 $ C $ .
我們實際上想要做什麼？標準分離參數
如何證明沒有套利的含義 $ \Rightarrow $ EMM 存在於簡單的離散設置中？我們找到了一個定價核心（= EMM），它與無套利考慮一致，即 $ L_+^0 $ 有正的價格並且收益在 $ C $ 有負價格：
認為 $ L_+^0 $ 和 $ C $ 只相交於 $ 0 $ （這是無套利條件）。那麼，應該存在一個隨機變數 $ M\in L^1 $ 將兩個子空間分開，即 $ \mathbb{E}^\mathbb{P}[MX]>0 $ 為了 $ X\in L_+^0 $ 和 $ \mathbb{E}^\mathbb{P}[MX]<0 $ 為了 $ X\in C $ . 任何這樣的隨機變數 $ M $ 是一個 SDF 並通過定義一個 EMM $ \text{d}\mathbb{Q}=M\text{d}\mathbb{P} $
這在離散設置中效果很好。然而，在這種更一般的設置中，需要一個更強版本的分離定理，以確保 $ M $ 是可積的並且是嚴格正的。因此，以下所有內容並沒有真正提供任何進一步的經濟見解，它只是純粹的數學技術。
無套利定義
讓我們定義禁止人們致富的不同方式：
- 沒有免費午餐 (NFL) 意味著 $ \bar{C}^*\cap L^\infty_+={0} $
- 沒有有限風險的免費午餐（NFLBR）意味著 $ \tilde{C}\cap L^\infty_+={0} $
- 沒有消失風險的免費午餐 (NFLVR) 意味著 $ \bar{C}\cap L^\infty_+={0} $
- 無套利 (NA) 是指 $ C\cap L^\infty_+={0} $
定義變得越來越嚴格： $$ NFL \Rightarrow NFLBR \Rightarrow NFLVR \Rightarrow NA $$
因為 $ C\cap L^\infty_+={0} \Leftrightarrow K_0\cap L^\infty_+={0} $ ，無套利意味著僅交易可接受的策略不能產生正利潤。然而，這種條件對於 EMM 來說過於嚴格，無法存在。
NFLVR 概括（比它更嚴格）NA。有一個元素序列 $ C $ ， 叫它 $ (f_n) $ 幾乎肯定會收斂到一些 $ f_0\in L_+^0 $ . 因此，我們有一系列可實現的索賠，這些索賠會收斂到正回報。``在經濟方面，這與 (NA) 幾乎相同，因為交易策略的風險變得任意小。''
NFLVR 和 NFLBR 的區別在於，NFLVR 要求交易策略的風險均勻收斂到零，而 NFLBR 要求風險有界且負界機率趨於零。NFLBR 也被用於其他早期的論文，例如 Delbaen (1992) 和 Schachermayer (1994)。
回到分離論證
Delbaen 和 Schachermayer（1994，第 4 節）證明對於統一的有界價格過程 $ S $ ，以下成立： $ S $ 滿足 NFLVR $ \Rightarrow $ $ C $ 弱 $ ^* $ 封閉 $ L^\infty $ . 然後他們可以應用 Kreps-Yan 分離定理，確保 $ M $ 是可積的並且是嚴格正的。這個分離定理擴展了 Hahn-Banach 定理並且歸功於 Schachermayer (1994)。然而，這個定理恰恰需要弱 $ ^* $ 封閉性。
總而言之，秘訣是：假設 NFLVR 變弱 $ ^* $ 封閉性反過來又使 $ C $ 和 $ L^0_+ $ 通過定義 EMM 的正可積 SDF。因此，弱 $ ^* $ 要求，就像 NFLVR 條件一樣，只是數學要求的結果。從經濟上講，這些概念接近通常的無套利條件。
最後結果
第一個 FTAP 的美麗之處：
- 讓 $ S $ 是一個有界的實值半鞅。然後， $ S $ 如果存在 EMM，則滿足 NFLVR $ S $ .
- 讓 $ S $ 是一個局部有界的實值半鞅。然後， $ S $ 如果存在 ELMM 則滿足 NFLVR $ S $ .
- 讓 $ S $ 是任意實值半鞅。然後， $ S $ 如果存在 ESMM，則滿足 NFLVR $ S $ .