與交易資產相關的計價
資產定價基本定理指出：
$$ \begin{align*} \frac{X_0}{N_0} &= \mathbb{E}^N{ \left[ \frac{X(t)}{N(t)}|\mathcal{F}_0 \right] } \end{align*} $$
通常的條件適用（兩者 $ N(t) $ 和 $ X(t) $ 是交易資產，市場是完整的，等等）
問題：如果上面的等式仍然成立 $ N(t) $ 與 $ X(t) $ ?
在數學上，人們可以假設（在現實世界的測量下）：
$$ X(t)=X(0)+\int^{t}{0}\mu_1 X(h)dh+\int^{t}{0}\sigma_{1} k_{1,1} X(h)dW_1(h)+\int^{t}{0}\sigma{1} k_{1,2} X(h)dW_2(h) $$
$$ N(t)=N(0)+\int^{t}{0}\mu_2 N(h)dh+\int^{t}{0}\sigma_{2} k_{2,1} N(h)dW_1(h)+\int^{t}{0}\sigma{2} k_{2,2} N(h)dW_2(h) $$
換句話說，有兩個布朗運動是風險的來源。資產 $ X(t) $ 有線性載荷（ $ K_{1,1} $ ) 到 $ W_1 $ 和 （ $ K_{1,2} $ ) 到 $ W_2 $ , 而 Numeraire 具有線性載荷 ( $ K_{2,1} $ ) 到 $ W_1 $ 和 （ $ K_{2,2} $ ) 到 $ W_2 $ ，這使得 $ N(t) $ 和 $ X(t) $ 相關。
如果您想籠統地回答這個問題，而不需要具體的過程方程 $ X(t) $ 和 $ N(t) $ 考慮到，那也很好。
非常感謝，我非常感謝您對此的任何意見。
正如@ilovevolatility 解釋的那樣，這件事的重要參考文獻是 Geman, El Karoui & Rochet (1995)。我們假設沒有任何資產派發股息，而且它們是嚴格正數的。有兩種可能的選擇。
- 您正在考慮一個只有資產的市場 $ X $ 和 $ N $ . 然後他們論文的假設 1 將適用，這與資產定價的兩個基本定理有關：“存在機率測度 $ \mathcal{N} $ 與 numéraire 相關的 $ N $ 這樣資產 $ X $ 是量度鞅 $ \mathcal{N} $ “。
這是您的模型中必需的假設。第一基本定理意味著該假設等同於假設您的市場是無套利的。如果 $ \mathcal{N} $ 是唯一的，那麼根據第二基本定理，市場也是完整的。因此，相關性並不重要，因為您假設該過程是鞅（當然，您的動態需要以實際成立的方式指定！）。
- 您正在考慮一個有資產的市場 $ X $ , $ N $ 和 $ M $ ， 在哪裡 $ M $ 例如無風險貨幣市場賬戶。你的假設是 $ X/M $ 和 $ N/M $ 是風險中性測度下的鞅 $ \mathcal{Q} $ 由…介紹 $ M $ . 然後 Geman, El Karoui & Rochet (1995) 中的定理 1 指出存在機率測度 $ \mathcal{N} $ 由…介紹 $ N $ 在這之下 $ X/N $ 和 $ M/N $ 是鞅。這應該獨立於是否 $ X $ 和 $ N $ 是相關的 $ - $ 他們的論文包含一個很好的證明，它獨立於這些過程的具體動態。
對於典型布朗運動設置中第二種情況的實際範例，我們需要 Girsanov 定理（例如，參見這些註釋）。讓我們假設以下動態 $ \mathcal{Q} $ ， 和 $ M_0 $ 等於 $ 1 $ : $$ \begin{align} dX(t) & = r X(t)dt+\sigma X(t)dW^\mathcal{Q}(t) \ dN(t) & = rN(t)dt + \varsigma N(t)dB^\mathcal{Q}(t) \end{align} $$ 在哪裡 $ dW^\mathcal{Q}(t)dB^\mathcal{Q}(t)=\rho dt $ 隨著貨幣市場賬戶演變為： $$ dM(t) = rM(t)dt. $$ 從測量的變化 $ \mathcal{Q} $ 至 $ \mathcal{N} $ 由以下 Radon-Nikodym 導數給出（再次參見論文中的定理 1）： $$ \frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{N}}=\frac{M(t)N_0}{M_0N(t)}=e^{\frac{1}{2}\varsigma^2 t-\varsigma B^\mathcal{Q}(t)} $$ 根據 Girsanov 定理，我們可以定義一個新的度量，我們將其命名為 $ \mathcal{N} $ 使得那裡的布朗運動由下式給出： $$ \begin{align} B^\mathcal{N}(t)&:=B^\mathcal{Q}(t)-\varsigma t \end{align} $$ 使用兩個相關布朗運動的 Cholesky 分解來表示 $ W $ ，我們在新的度量下得到： $$ W^\mathcal{N}(t)=\rho B^\mathcal{N}(t)+\sqrt{1-\rho^2}Z^\mathcal{N}(t)=W^\mathcal{Q}(t)-\rho\varsigma t $$ 在哪裡 $ Z $ 是獨立於的第三布朗運動 $ B $ . 因此，新措施下的動態是： $$ \begin{align} dX(t) &= (r+\rho\sigma\varsigma)X(t)dt+\sigma X(t)dW^\mathcal{N}(t) \ dN(t) &= (r+\varsigma^2)N(t)dt+\varsigma N(t)dB^\mathcal{N}(t) \end{align} $$ 那是： $$ \begin{align} X(t) &= X_0e^{(r+\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W^\mathcal{N}(t)} \ N(t) &= N_0e^{(r+\frac{1}{2}\varsigma^2)t+\varsigma B^\mathcal{N}(t)} \end{align} $$ 因此資產 $ X(t) $ 除以新計價 $ N(t) $ 等於： $$ \frac{X(t)}{N(t)}=\frac{X_0}{N_0}e^{(\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2))t+\sigma W^\mathcal{N}(t)-\varsigma B^\mathcal{N}(t)} $$ 再次使用 Cholesky 表示 $ W $ : $$ \frac{X(t)}{N(t)}=\frac{X_0}{N_0}e^{(\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2))t+(\sigma\rho-\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t)} $$ 隨機變數 $ (\rho\sigma-\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t) $ 正態分佈，期望和變異數為零： $$ (\rho\sigma-\varsigma)^2t+\sigma^2(1-\rho^2)t=\varsigma^2t-2\rho\sigma\varsigma t+\sigma^2t $$ 因此，通過對數正態變數的屬性： $$ \mathbb{E}^\mathcal{N}\left(e^{(\sigma\rho-\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t)}\right)=e^{\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2)t-\rho\sigma\varsigma t} $$ 條款取消，我們將獲得： $$ \mathbb{E}^\mathcal{N}\left(\frac{X(t)}{N(t)}\right)=\frac{X_0}{N_0} $$ 因此，該過程在新度量下是一個適當的鞅 $ \mathcal{N} $ .
在我的測度變化方程中，您注意到應用於第二個布朗運動的“移位”考慮了相關性，即 $ W^\mathcal{N}(t)=W^\mathcal{Q}(t)-\color{blue}{\rho}\varsigma t $ . 然後將這個術語注入到漂移中 $ X $ 根據新措施： $ dX(t)=(\dots+\color{blue}{\rho}\sigma\varsigma)dt+\dots $ ，在計算對數正態變數的期望時被取消。
出於完整性目的，在布朗設置下更改測量 的**技術點（除非必要，否則跳過測量上標）。**正確地說，我們的模型實際上是由二維布朗運動驅動的： $$ \textbf{W}(t)= \begin{bmatrix} B(t) \ Z(t) \end{bmatrix} $$ 在哪裡 $ B $ 和 $ Z $ 是獨立的。然後我們有一個波動率矩陣 $ \Sigma $ 和 Cholesky 矩陣 $ \textbf{C} $ （這是布朗運動之間相關矩陣的分解），它給了我們一個權重矩陣 $ \Phi $ 對於兩個布朗運動： $$ \Sigma := \begin{bmatrix} \varsigma & 0 \ 0 & \sigma \end{bmatrix}, \qquad \textbf{C} := \begin{bmatrix} 1 & 0 \ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix}, \qquad \Phi:=\Sigma\cdot\textbf{C}=\begin{bmatrix} \varsigma & 0 \ \sigma\rho & \sigma\sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix} $$ 注意 $ \Phi\cdot\Phi^T $ 給我們瞬時共變異數矩陣。擴散部分 $ N $ 和 $ X $ 由以下向量表示： $$ \Phi\cdot d\textbf{W}(t)=\begin{bmatrix} \varsigma dB(t) \\sigma (\rho dB(t)+\sqrt{1-\rho^2}dZ(t)) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \varsigma dB(t) \ \sigma dW(t) \end{bmatrix} $$ 在哪裡 $ W $ 是原始的布朗運動 $ X $ 在正文中介紹。當我們改變度量時，我們實際上是在應用二維 Girsanov 定理並“移動”整個向量 $ \textbf{W} $ . 但是，正如您在 Radon-Nikodym 導數方程中看到的那樣，它只是布朗 $ B $ 由 $ \varsigma t $ , 而布朗 $ Z $ 被轉移 $ 0 $ . 事實上，我們可以寫： $$ \frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{N}} =e^{\frac{1}{2}\varsigma^2 t-\varsigma B^\mathcal{Q}(t)} =e^{\frac{t}{2}(\Theta^T\cdot\Theta)-\Theta^T\cdot\textbf{W}(t)} $$ 在哪裡 $ \Theta $ 是指定度量變化的向量 $ \mathcal{Q} $ 至 $ \mathcal{N} $ : $$ \Theta := \begin{bmatrix} \varsigma \ 0 \end{bmatrix} $$ 所以新測度下的布朗運動變為： $$ \textbf{W}^\mathcal{N}(t) =\textbf{W}^\mathcal{Q}(t)-\Theta\times t =\begin{bmatrix} B(t)-\varsigma t \ Z(t) \end{bmatrix} $$