實踐中的期權定價模型校準
我很好奇像赫斯頓模型這樣的期權定價模型在實踐中是如何校準的。
這是我想像它發生的方式：
假設我可以訪問給定股票的最新期權價格 $ n $ 罷工和 $ m $ 每次罷工的到期日期。現在假設這是工作日的結束，所以我有一組 $ n \times m $ 收盤價 $ p $ 每個由 $ p(K,\tau) $ . 所有收盤價的集合將表示為 $ {p(K_i,\tau_j)}_{i,j=1}^{n,m} $ .
我明天需要為這隻股票的期權定價，所以讓我們根據最新的收盤數據來校準赫斯頓的模型。為此，使用某種最小二乘優化方法，找到最能描述價格數據的參數值。無論我使用什麼方法，我都會將 Heston 的模型校準為 $ n \times m $ 今天的數據點。
現在，假設我也可以訪問前幾天的收盤價，比如說 $ d $ 天，每一天 $ n \times m $ 價格。那是 $ d \times n \times m $ 收盤價。
- 我應該包括所有 $ d \times n \times m $ 在我的校準中收盤價？也就是說，我是否應該嘗試將赫斯頓的模型擬合到 $ d \times n \times m $ 數據點？這似乎可以更好地捕捉期權價格的近期歷史。
- 或者，我應該堅持使用最新數據，或許依靠一些有效的市場理念來證明這就是我所需要的？
- 或者，也許校準模型 $ d $ 次，每天一次的數據，建構參數分佈並選擇最可能的參數？
- 或者，…
似乎有很多校準方法。我很高興聽到那些有經驗的人告訴他們他們是如何完成的！
典型的方法是：您只使用最後一天的期權數據。此外，您只包括那些足夠流動的點。解決此問題的一種方法是通過買賣價差和 vega 來衡量期權的建模誤差。
使用多天的數據不是一個好方法，因為您可能有相同行使價但價格不同的期權。然後，校準可能會卡在校準模型無法恢復市場價格的點上。此外，不能保證多天獲取的期權數據可以形成無套利的表面。
對於流動性期權來說，最新數據就足夠了，前提是您不僅僅有平價罷工。
研究機構關注校準模型參數的不確定性並不常見，但這絕對是一件好事。但是，實施類似貝氏的優化方案可能既困難又耗時，這就是通常不這樣做的原因。更重要的是看“如果我將波動率表面提高 1% 會發生什麼”的影響，或者如果利率向上或向下移動 10 個基點會發生什麼。
此外，損失函式通常具有許多局部最小值，期權價格的微小變化可能會將全域最小值置於參數空間中完全不同的區域。換句話說：市場期權價格的平滑變形會在校準參數中引起非常不連續的行為。因此，即使隱含波動率表面沒有太大變化，模型參數也會每天跳躍。
對於涉及多個基礎的更複雜的模型（例如利率和股票：赫爾-懷特赫斯頓模型），正確校準模型確實成為一門藝術。您經常會看到相關性等參數被歷史估計值取代，而其他參數的範圍受到嚴格限制，這僅僅是因為您可能在一個參數非常不可能的區域中有一個全域最小值。弄清楚校準過程中應該包括哪些儀器需要相當多的經驗。
另請參閱 Homescu 的這項工作：
Heston 模型由隨機微分方程的二元系統 (SDE) 表示
$$ \begin{align} & d{{S}{t}}=rS_tdt+{\sqrt\upsilon_t} d{{W}{1}}(t) \ & d{{\upsilon}{t}}=\kappa(\theta-\upsilon_t) dt+\sigma{\sqrt\upsilon_t}d{{W}{2}}(t) \ \end{align} $$ 估計 Heston 模型參數最流行的方法是使用損失函式。該方法利用市場報價與模型價格之間的誤差，或市場與模型隱含波動率之間的誤差。參數估計 $ \hat\Theta=(\hat\kappa, \hat\theta,\hat\sigma,\hat\upsilon_o,\hat\rho) $ 是那些使損失函式值最小化的值，以便模型價格或隱含波動率盡可能接近其市場對應物。在這方面必須使用約束最小化算法，以便對參數的約束 $$ \begin{align} \kappa>0\ ,\ \theta>0\ , \ \sigma>0 , \ ,\upsilon_0>0 , \ , ,\rho\in[-1,1] \end{align} $$ 受到尊重。由於損失函式使用市場期權價格（或從這些價格得出的隱含波動率）作為輸入，它們產生赫斯頓模型的風險中性參數的估計值。假設我們有一組 $ N_T $ 到期日 $ \tau_i $ ( $ i=1,2,…,N_T) $ 並設置 $ N_K $ 罷工 $ K_k $ ( $ k=1,2,…,N_k $ ).對於每個成熟度對於每個成熟度-罷工組合 $ (\tau_t,\ K_k) $ 我們有市場價格 $ P(\tau_t , K_k) $ 和相應的型號價格 $ P(\tau_t , K_k;\Theta)=P_{t,k}^{\Theta} $ 由赫斯頓模型生成。每個選項都附有一個可選重量 $ w_{t,k} $ . 定義損失函式的方法有很多種，但它們通常屬於以下兩類之一：基於價格的方法和基於隱含波動率的方法。第一類損失函式是那些使報價和模型價格之間的誤差最小化的函式。誤差通常定義為報價和模型價格之間的平變異數，或差的絕對值；也可以使用相對誤差。例如，使用均方誤差和 (MSE) 損失函式獲得的參數估計是通過最小化獲得的 $$ \begin{align} \frac{1}{N}\sum_{t,k}w_{t,k}(P_{t,k}-P_{t,k}^{\Theta})^2 \end{align} $$ 關於 $ \Theta $ 在哪裡 $ N $ 是引號的數量。使用損失函式獲得相對平均誤差平方和 (RMSE) 參數估計 $$ \begin{align} \frac{1}{N}\sum_{t,k}w_{t,k}\frac{(P_{t,k}-P_{t,k}^{\Theta})^2}{P_{t,k}} \end{align} $$ 第二類損失函式是那些最小化報價和模型隱含波動率之間的誤差的函式。同樣，誤差通常定義為報價和模型隱含波動率之間的平變異數、絕對差或相對差。這類損失函式是明智的，因為期權通常根據隱含波動率進行報價，並且模型的擬合通常通過比較報價和模型隱含波動率來評估。因此，例如，隱含波動率平均誤差平方和 (IVMSE) 參數估計是基於損失函式 $$ \begin{align} \frac{1}{N}\sum_{t,k}w_{t,k}(IV_{t,k}-IV_{t,k}^{\Theta})^2 \end{align} $$ 在哪裡 $ IV_{t,k} $ 和 $ IV_{t,k}^\Theta $ 分別是報價和模型隱含波動率。也可以使用相對和絕對版本。Bakshi、Cao 和 Chen (1997)、Bams 等人使用損失函式估計 Heston 模型參數。(2009)、Christoffersen 和 Jacobs (2004)、Mikhailov 和 No¨ gel (2003) 等。關於哪種損失函式最好還沒有達成共識，但 Christoffersen 和 Jacobs (2004) 指出應該使用相同的損失函式進行參數估計和評估模型擬合。