使用特徵函式的期權定價
我目前正在嘗試使用粗略的赫斯頓模型計算期權價格。我發現這通常是使用模型的特徵函式來完成的，但我必須承認我並不真正了解哪些公式適用，以及它們是如何推導出來的。我對應用數學專業的數學感到很自在，但我很難找到好的參考資料。
例如，在“半分析期權定價中的最優傅立葉反轉”一文中，他們說（其中 $ \varphi $ 是模型的特徵函式）：
“了解特徵函式使我們能夠表達帶有行使價的歐式看漲期權的遠期價格 $ K $ 和成熟 $ \tau $ 與 Black-Scholes 價格非常相似 $$ C(S,K,\tau) = F\Pi_1 - K\Pi_2, $$ 和 $ F $ 是標的資產的遠期價值和 $$ \Pi_1 := \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}Re\left(\frac{e^{-iuk}\varphi(u-i)}{iu\varphi(-i)}du\right). $$ 罷工的對數表示為 $ k=\ln(K) $ .
$$ … $$. 此外，我們有 $$ \Pi_2 := \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}Re\left(\frac{e^{-iuk}\varphi(u)}{iu}du\right)." $$ 這個公式是否適用於所有金融模型？這個公式是怎麼推導出來的？有哪些好的資源可以以結構化和“數學方式”進一步了解這一點？
非常感謝
最簡單的參考是 Derivative Analytics with Python —— 簡單、簡潔，並且明確了為什麼它有效以及如何應用它。它還附帶 Python 程式碼（效率低下，但說明性的程式碼）。
“何時”應用此功能的關鍵？當您可以將條件特徵函式編寫為狀態變數的指數仿射函式時，它很有用。在離散時間模型中，您可以在其中有係數，您可以從成熟的時間遞歸地退出。如果我記得，類似的事情適用於連續時間。
我知道這個想法適用於 Black-Scholes-Merton 和 Heston 1993 年的模型。它也適用於所有所謂的離散時間仿射 GARCH 模型（例如，Heston 和 Nandi，2000）。但它不適用於像段的 1995 年 GARCH 期權定價模型這樣的非仿射模型（與 HN2000 相同，但波動性進入收益方程的方式不同）。對於那個，您唯一的選擇是模擬模型。
另外，請注意，這可以使用積分中的虛部而不是實部來編寫，儘管它不太常見。您還可以查看已故的 Peter Christoffersen 的網頁——他有 GARCH 期權定價的 MATLAB 程式碼，他可以在其中做您想做的事，但在離散時間模型中。
你可能想看看這篇論文：
@ARTICLE{Bakshi2000a, author = {Gurdip Bakshi and Dilip B. Madan}, title = {Spanning and Derivative-Security Valuation}, journal = {Journal of Financial Economics}, year = 2000, volume = 55, pages = {205--238}, number = 2 }