為零息債券的遠期合約定價
我正在嘗試計算零息債券 (ZCB) 遠期合約的價格。遠期合約到期日為 $ t_1 $ ZCB 成熟於 $ t_2 $ . 因此，遠期合約的價格只是（到期 ZCB 的價格）的比率 $ t_2 $ ) / (到期的ZCB價格 $ t_1 $ ) ?
正如我在評論中提到的，獲得此結果的另一種方法是考慮如何複製遠期合約。其現金流結構如下：
type | t | t1 | t2 ---------------------------------------------------------------------------- forward | 0 | +P(t1, t2) - K | 0在這裡，我也使用 $ P(t_1, t_2) $ 表示時間 $ t_1 $ 到期的零息債券價格 $ t_2 $ . $ K $ 是遠期合約的公平交割價格。
您通過在到期的零息票中持有多頭頭寸來複製此合約 $ t_2 $ 並通過出售到期的零息債券為購買融資 $ t_1 $ 對於產生目前現金流入的名義 $ P(t, t_2) $ . 你得到
type | t | t1 | t2 ----------------------------------------------------------------------------- long ZCB t2 | -P(t, t2) | +P(t1, t2) | 0 short ZCB t1 | +P(t, t2) | -P(t, t2) / P(t, t1) | ----------------------------------------------------------------------------- total | 0 | +P(t1, t2) | 0 | | -P(t, t2) / P(t, t1) |投資組合在兩者中的現金流與遠期相同 $ t $ 和 $ t_2 $ . 它具有相同的隨機現金流 $ t_1 $ ( $ +P(t_1, t_2) $ )，因此此時的非隨機現金流也必須一致，即 $ K = P(t, t_2) / P(t, t_1) $ .
讓 $ E^{t_1} $ 是下的期望運算元 $ t_1 $ - 前向機率測度 $ Q^{t_1} $ , 採用債券價格過程 $ {P(t, t_1), , 0\le t \le t_1} $ 作為計價器。然後，遠期合約的價格，在時間 $ t $ ， 在哪裡 $ 0\le t \le t_1 $ ， 是（誰）給的
$$ \begin{align*} E^{t_1}\big(P(t_1, t_2)\mid \mathcal{F}_t\big) &= E^{t_1}\left(\frac{P(t_1, t_2)}{P(t_1, t_1)}\mid \mathcal{F}_t\right)\ &=\frac{P(t, t_2)}{P(t, t_1)}, \end{align*} $$ 作為 $ \left{\frac{P(t, t_2)}{P(t, t_1)}, 0\le t \le t_1\right} $ 是下鞅 $ t_1 $ - 前向機率測度 $ Q^{t_1} $ . 這裡， $ \mathcal{F}_t $ 是時間設置的資訊 $ t $ .