美國看漲期權價格等於歐洲看漲期權價格（非股息支付股票）

讓 $ \tilde{C}_K(t,T) $ 是行使價的美式看漲期權的價值（價格） $ K $ 和成熟 $ T $ ， 和 $ C_K(t,T) $ 相同參數的歐式看漲期權的價值（價格）。

對於不派息股票， $ \tilde{C}_K(t,T) = C_K(t,T) $ . 為什麼？

我的教科書說：

$ \textbf{Proof} $ : $ \tilde{C}_K(t,T) \geq C_K(t,T) $ 很明顯。（為什麼這麼明顯？）

證明 $ \tilde{C}_K(t,T) \leq C_K(t,T) $ 考慮

1. 美國人以前沒有鍛煉過 $ T $ . 然後 $ \tilde{C}_K(t,T) = C_K(t,T) $ . （既然美國人和歐洲人一樣，這對我來說很有意義。）
2. 假設美國人在 $ t<T $ . 然後

$$ \tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq C_K(t,T). \hspace{14cm}\blacksquare $$

我不明白。我想如果美國人 $ \tilde{C}_K $ 行使於 $ t<T $ ， 然後 $ \tilde{C}_K(t,T) $ 是電話的回報，因此 $ (S_t-K)^+ $ …為什麼會 $ S_t - K \leq C_K(t,T) $ ?

參考：Stephen Blyth 對量化金融的介紹。

從看跌期權平價我們有 $ C_t =P_t +S_t - K e^{-r(T-t)}, $ 所以 $$ C_t \geq S_t - K e^{-r(T-t)} > S_t - K. $$ 這意味著呼叫的價格 $ C_t $ 隨時 $ 0 < t<T $ 總是大於執行呼叫的價值，即 $ S_t - K. $ 因此，之前行使美式看漲期權（沒有股息）的選擇性 $ T $ 沒有價值。

來自同一來源（Stephen Blyth 的量化金融簡介），在證明非股息支付股票的美式和歐式看漲期權具有相同的價值之前，作者在第 頁證明了非股息歐式看漲期權價值的以下界限 $ 57. $

結果：非股息支付股票的歐洲贖回價格滿足 $$ \max(0, S_t -K e^{-r(T-t)}) \leq C_K(t,T)\leq S_t $$ 在哪裡 $ C_K(t,T) $ 是當時歐式看漲期權的價值 $ t $ 和 $ K $ 是執行價格並在時間到期 $ T $ 和 $ r $ 是利率。

左不等式可以使用無套利論證來證明，而右不等式可以使用歐式看漲期權的內在價值公式來證明。

通過上面的結果，很容易證明以下陳述：

假設美國人在 $ t<T $ . 然後 $$ \tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq C_K(t,T). $$

確實，自從 $ e^{-r(T-t)} \leq 1, $ 所以 $$ \tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq S_t -K e^{-r(T-t)} \leq \max(0, S_t -K e^{-r(T-t)}) \leq C_K(t,T). $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/50229