為契約定價
我目前正在嘗試為一些不同類型的契約定價。我被困在下面的練習中，我似乎找不到一個好的解決方案。假設如下：
- 我們處於標準的 BS 環境中 $ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) $ 和 $ \mu, \sigma > 0 $ .
- 利率為 $ 0 $ .
- 這 $ Q $ 動態是： $ dS(t) = \sigma S(t) dW(t)^{Q} $ .
- 支付函式如下： $ \left(\int_{0}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot v}\ln(S(v))dv\right)^3 $ .
任務是找到風險中性估值。
我的方法是在我們的案例中開始編寫 RNV 函式，即 $$ F(t,S(t))=\mathrm{e}^{-r(T-t)}E^{Q}[payoff] = E^{Q}\left[\left(\int_{0}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot v}\ln(S(v))dv\right)^3\right] $$
定義 $ X(t) = ln(S(t)) $ ，然後應用 Ito，我們得到 $$ \begin{align} dX(t) = \frac{1}{S(t)}dS(t) - \frac{1}{2S(t)^{2}}(dS(t))^2 &= \frac{1}{S(t)}(\sigma S(t) dW(t)^Q) - \frac{1}{2S(t)^{2}}(\sigma S(t) dW(t)^Q)^2\ &= -\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\sigma dW(t)^{Q}\end{align} $$ 現在定義 $ Y(t) = \mathrm{e}^{a \cdot t}X(t) $ . 應用 Ito，我們得到 $$ \begin{align} dY(t) &= a\mathrm{e}^{a \cdot t}X(t)dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}d(X(t)) =aY(t)dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}(-\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\sigma dW(t)^{Q})\ &=aY(t)dt-\mathrm{e}^{a \cdot t}\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}\sigma dW(t)^{Q} \end{align} $$ 整合雙方我們得到 $$ \begin{align} Y(T) &= Y(t) + (Z(T) - Z(t))-\mathrm{e}^{a \cdot t}\frac{1}{2a}\sigma^{2} + \sigma^{2}\int_{t}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot t} dv \end{align} $$ 在哪裡 $ Z(t) = \int_{0}^{t} Y(v) dv $ .
這是我不確定從哪裡進行的地方，或者我到目前為止的計算是否正確。
證明策略包括顯示感興趣的數量是正態分佈的，然後使用正態變數的矩生成函式來獲得它的三階矩。
測量中 $ \mathcal{Q} $ ，我們定義 $$ \begin{align} \xi:&=\int_0^Te^{av}\ln S_v \text{d}v \ &=\int_0^Te^{av}\left(\ln S_0-\frac{1}{2}\sigma^2v+\sigma W_v^\mathcal{Q}\right)\text{d}v. \end{align} $$
均值 $ \mu $ 的 $ \xi $ 等於 $$ \mu:=\int_0^Te^{av}\left(\ln S_0-\frac{1}{2}\sigma^2v\right)\text{d}v. $$
然後 $$ \xi=\mu+\sigma\int_0^Te^{av}W_v^\mathcal{Q}\text{d}v, $$
現在根據隨機 Fubini 定理： $$ \begin{align} \int_0^Te^{av}W_v^\mathcal{Q}\text{d}v &=\int_0^Te^{av}\left(\int_0^T1_{{u\leq v}}\text{d}W_u^\mathcal{Q}\right)\text{d}v \ &=\int_0^T\left(\int_0^Te^{av}1_{{u\leq v}}\text{d}v\right)\text{d}W_u^\mathcal{Q} \ &=\int_0^T\left(\int_u^Te^{av}\text{d}v\right)\text{d}W_u^\mathcal{Q} \ &=\int_0^T\theta(u,T)\text{d}W_u^\mathcal{Q}, \end{align} $$ 在哪裡 $$ \theta(u,T):=\frac{e^{aT}-e^{au}}{a} $$
然而我們知道上面的隨機積分服從高斯分佈，所以 $$ \xi\overset{\mathcal{L}}{=}X, $$
在哪裡 $$ X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\nu\right) $$ 和 $$ \nu:=\sigma^2\int_0^T\theta(u,T)^2\text{d}u. $$ 力矩生成函式 $ M(t) $ 具有均值的高斯隨機變數 $ \mu $ 和變異數 $ \nu $ 是 $$ M(t):=e^{\mu t+\frac{1}{2}\nu^2t^2}. $$ 區分3次： $$ M^{\prime\prime\prime}(t):=\left(3\nu^2(\mu+\nu^2t)+(\mu+\nu^2t)^3\right)M(t). $$ 環境 $ t=0 $ 給了我們想要的結果： $$ \begin{align} E(\xi^3) &= M^{\prime\prime\prime}(0) \ &=3\nu^2\mu+\mu^3. \end{align} $$