Vasicek 下的息票債券的定價看漲期權
考慮 Vascicek 模型，讓 A 和 B 表示函式，使得 $ P(t,T)=\exp(A(t,T)-B(t,T)r(t)) $ . 我們現在來看一個進行確定性支付的息票債券 $ \alpha_1,…,\alpha_N $ 在日期 $ T_1,…,T_N $ . 顯然，這種息票債券的價格是$$ \pi^c(t)=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i) $$.
認為 $ K $ 作為對息票債券的到期 T 歐式看漲期權的行使。
證明存在 $ r*\in\mathbb{R} $ 這樣 $ \pi^c(T)\geqslant K $ 當且僅當 $ r(T)\leqslant r* $ . 通過以下方式定義調整後的罷工 $ K_i=\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r*) $ 證明呼叫的回報可以寫成：
$$ (\pi^c(T)-K)^+=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i (P(T,T_i)-K_i)^+ $$
我的嘗試： $ \sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i)\geqslant K \implies\sum_{i|T_i<t}\alpha_i\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r(T)) \geqslant K $
我試圖通過取 logratihtms 來求解 r(T) 的這個方程，但它不起作用，因為我得到了 $ log(\sum_{i|T_i<t}\alpha_i\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r(T))) $ .
問題：
我應該如何解決這個問題？
提前致謝！
在我看來，你想證明的是賈姆希迪安的把戲。
我們知道函式 $ \Bbb R \ni r \to \exp(A(t,T)-B(t,T)r) $ 是單調的，如果 $ B(t,T) \neq 0 $ （如果我記性好，通常， $ B(t,T)>0 $ ) 然後這個函式在 $ (0,+\infty) $ .
然後函式 $ \Bbb R \ni r \to \pi^c(t,r)=\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r) $ 也在減少（因為 $ B(t,T)>0 $ ）。那麼對於所有人 $ K \in \Bbb R^* $ , 存在一個且只有一個值 $ r^* $ 這樣 $ \pi^c(t,r^) = K $ . 並且因為函式 $ \pi^c(t,r) $ 那時正在減少 $ \pi^c(t,r^) \ge K $ 對所有人 $ r <r^* $ (1).
由（1）可知， $$ \begin{align} (\pi^c(T)-K)^+ &= (\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r)-\sum_{i|T_i<t}\alpha_i P(t,T_i,r^))^+ \ &=\left( \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- P(t,T_i,r^)\right) \right)^+ \ &= \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- P(t,T_i,r^*)\right)^+ \tag{2} \ \end{align} $$
如果我們表示 $ K_i=\exp(A(T,T_i)-B(T,T_i)r*) $ , 那麼 (2) 等價於 $$ (\pi^c(T)-K)^+ = \sum_{i|T_i<t}\alpha_i \left( P(t,T_i,r)- K_i\right)^+ $$