使用具有平方股價邊界的風險中性鞅方法定價看漲期權？
我必須使用 BS 定價框架下的風險中性鞅 5 步法在時間 0 為以下看漲期權定價： $$ X = \begin{cases}1, &{if} &S_T^2\geq K,\0, & {otherwise}.\end{cases} $$ 由於邊界條件下的股票價格平方是不尋常的（與我在文獻中看到的不同），我試圖計算 $ dS_T^2 $ 在 P 下，然後計算等效鞅測度（在 Q 下）。通過使用伊藤引理，我得到： $$ dS_T^2 = (2 \alpha +\sigma^2)S_t^2dt + 2 \sigma S_t^2 dW_t $$ 然後我嘗試通過加減來計算 Q 下的值 $ 2rS_t^2dt $ （建議在講座材料中）然後重新排列： $$ dS_T^2 = (2r +\sigma^2)S_t^2dt + 2 \sigma S_t^2 d\tilde W_t $$ $$ d\tilde W_t = \frac{\alpha - r}{\sigma} dt + dW_t $$ 我計劃使用它來計算 t=0 時的公平價格的封閉式表達式，用於使用鞅方法的其餘部分進行數字呼叫，但是在計算時 $ d(S_T^2)^* $ 我獲得了： $$ d(S_T^2)^*=[(2\alpha + \sigma^2)-2r] (S_t^2)^dt + 2\sigma (S_t^2)^ dW_t $$ Q 下的哪個（替換 $ (2\alpha + \sigma^2) $ 和 $ (2r +\sigma^2) $ ) 不是鞅，所以我不能在其餘步驟中使用它。這種方法正確嗎？如果是這樣，我哪裡出錯了？如果不是，我應該對邊界內的股票價格平方採取什麼方法？
對於任何格式問題，我很抱歉，我對 MathJax 很陌生！謝謝！
你並不真的需要動態 $ S_t^2 $ . 您可以簡單地從風險中性定價中應用您的標準技術。歐式有償合約的時間零價格 $ X $ 是（誰）給的$$ V_0=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[X\mid\mathcal{F}0]. $$因此， $$ \begin{align*} V_0 &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{1}{{S_T^2\geq K}}] \ &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{1}_{{S_T\geq \sqrt{K}}}] \ &= e^{-rT}\mathbb{Q}[{S_T\geq \sqrt{K}}] \ &= e^{-rT}\mathbb{Q}\left[\left{\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T \geq \ln\left(\frac{\sqrt{K}}{S_0}\right)\right}\right] \ &= e^{-rT}\mathbb{Q}\left[\left{Z \geq \frac{\ln\left(\frac{\sqrt{K}}{S_0}\right)-\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right}\right] \ &= e^{-rT}\left(1-\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{\sqrt{K}}{S_0}\right)-\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right)\right) \ &= e^{-rT}\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{\sqrt{K}}\right)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right) \end{align*} $$ 我們用的地方 $ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $ 對所有人 $ x $ 和 $ W_T\sim N(0,T) $ .
現在這只是具有執行價格的數字（二元）現金或無現金看漲期權的價格 $ \sqrt{K} $ 和成熟 $ T $ .