奇數類型的資產或無選擇的定價
試圖推導兩種資產衍生品的定價函式 $ S^1 $ 和 $ S^2 $ 具有以下支付函式：
$$ \Phi(S^1_T,S^2_T)=S_T^1 , \unicode{x1D7D9}{S_T^2\le K} $$ 我只是在使用 $ \unicode{x1D7D9} $ 作為指標函式。此外，重要的是，這兩項資產是由獨立的維納過程驅動的。所以，實際上，我們有一個二元看跌期權 $ S_T^2 $ , 回報在哪裡 $ S_T^1 $ . 所以，我從一開始就知道一些事情。如果回報是某個固定金額 $ K $ ，定價函式為 $ Ke^{-rT}N(-d_2) $ . 另一方面，如果收益是資產 $ S_T^2 $ 本身，定價函式將是 $ S_0^2N(-d_1) $ .
因此，鑑於我們有獨立的 Weiner 流程，我覺得定價應該更類似於固定收益二進制。此外，收益應該是收益資產的風險中性預期。那是，
$$ \begin{align} &\pi(t)=S_t^1e^{r(T-t)}e^{-r(T-t)}N(-d_2)\ \iff& \pi(t)=S_t^1N(-d_2) \end{align} $$ 和 $ d_2 $ 定義為標準 BS 模型中的定義。我希望有人可以確認/否認這一點，並可能提供更嚴格的推導。謝謝。
在風險中性測度下，價格為
$$ P_t = e^{-r(T-t)}\mathbb E[S_T^1 \mathbb 1(S_T^2\le K)\mid \mathcal F_t]. $$由於風險中性資產過程是獨立的幾何布朗運動， $ S_T^1 $ 和 $ S_T^2 $ 是有條件獨立給定的 $ \mathcal F_t. $ 所以條件期望因子和你得到
$$ P_t = e^{-r(T-t)}\mathbb E[S_T^1\mid \mathcal F_t]\mathbb E[\mathbb 1(S_T^2\le K)\mid \mathcal F_t] = S^1_t N(-d_2) $$（在哪裡 ” $ d_2 $ “當然是相對於 $ S^2_t $ 過程）就像你說的。