定價功能磷（小號,t)磷(小號,噸)P(S,t)是凸的小號小號S對全部噸噸t
我現在正在閱讀 Carr 等人的《美國看跌期權的替代特徵》（可在http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/amerput7.pdf獲得）。有一個定理叫做“美式看跌期權的主要分解”。
**定理 1（美式看跌期權的主要分解）**關於延續區域 $ \mathcal{C} $ ，美式看跌期權， $ P_0 $ ，可以分解為對應的歐式看跌期權價格， $ p_0 $ ，以及早期行使溢價， $ e_0 $ :
$$ P_0=p_0+e_0 $$ 在哪裡 $$ e_0=rK \int_{0}^{T} \exp{(-rt)} N\bigg( \frac{\ln{(B_t / S_0)}-e_2 t}{\sigma \sqrt{t}} \bigg)dt, $$ $$ e_2=r-\frac{\sigma^2}{2}, , $$ 和 $$ N(x)=\int_{0}^{x} \frac{\exp{(-z^2/2)}}{\sqrt{2\pi}}dz $$ 是標準正態分佈函式。 附錄中的證明開始於： 我們希望證明：
$$ P_0=p_0+rK \int_{0}^{T} \exp{(-rt)} N\bigg( \frac{\ln{(B_t / S_0)}-e_2 t}{\sigma \sqrt{t}} \bigg)dt. $$ 讓 $ Z_t \equiv \exp{(−rt)}P_t $ 是在該地區定義的貼現看跌期權價格 $ D \equiv {(S, t) : S ∈ [0, \infty), t ∈ [0, T]} $ . 在該區域，定價函式 $ P(S, t) $ 是凸的 $ S $ 對全部 $ t $ , 連續可微 $ t $ 對全部 $ S $ , 並且 ae 兩次連續可微 $ S $ 對全部 $ t $ . 我的問題是關於以下聲明：“定價功能 $ P(S, t) $ 是凸的 $ S $ 對全部 $ t $ ”。是假設的還是我們可以證明的？
我從http://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html閱讀了凸函式的定義：
凸函式是一個連續函式，它在其域中每個區間的中點處的值不超過其在區間末端的值的算術平均值。更一般地，一個函式 $ f(x) $ 在區間上是凸的 $ [a,b] $ 如果對於任何兩點 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 在 $ [a,b] $ 和任何 $ \lambda $ 在哪裡 $ 0< \lambda <1 $ ,
$$ f[\lambda x_1 + (1- \lambda x_2)] \leq \lambda f(x_1)+ (1- \lambda) f(x_2) $$ 我還在https://math.stackexchange.com/questions/112063/price-of-a-european-call-option-is-a-convex-function-of-strike-price-k中閱讀了一個問題，但我我不確定它是否可以應用於我的問題，因為
(1)。我假設 $ P(S,t) $ 在我的問題是美國看跌期權而不是歐洲看跌期權，
(2)。連結中的問題是關於執行價格的凸函式，而我的問題是關於中的凸函式 $ S $ 在所有 $ t $ （或者它們是一樣的嗎？），和
(3)。我得到的凸函式定義似乎不同。
誰能幫我解釋為什麼 $ P(S, t) $ 是凸的 $ S $ 對全部 $ t $ ? 謝謝你。
卡爾等人。(1992) 您所指的論文假設標的資產遵循幾何布朗運動 (GBM)。
在包括 GBM 案例在內的更廣泛的環境中，El Karoui 等人證明了這一點。(1998) 和 Hobson (1998) 認為美式普通期權的估值函式是資產價格的凸函式。
參考
El Karoui、Nicole、Monique Jeanblanc-Picque 和 Steven E. Shreve（1998 年）“布萊克和斯科爾斯公式的穩健性”，數學金融，卷。8，第 2 期，第 93-126 頁
Hobson, David G. (1998) “波動性 MIsspecification, Option Pricing and Superreplication via Coupling”, Annals of Applied Probability, Vol. 8，第 1 期，第 193-205 頁