兩種標的資產的歐式期權定價
有沒有人能夠解決以下問題？
假設我們有兩個資產，每個資產都遵循 GBM 流程，其中 $ dW_S $ 和 $ dW_X $ 是相關的 $ (dW_SdW_X=\rho) $ .
$ dS=\mu_s S \hspace{0.5mm}dt +\sigma_s S \hspace{0.5mm}dW_s $
$ dX=\mu_X X \hspace{0.5mm}dt +\sigma_X X \hspace{0.5mm}dW_X $
確定歐式看跌期權的價格 $ V $ 收益取決於所描述的兩種資產的終值
$ V_T=X_T\max{K-S_T,0} $
您對問題的陳述不是很詳細。是 $ \mu_{S/X} $ 持續的 ？利率呢？在經典的交換期權問題中，收益為 $ (X_T - S_T)^+ $ , 它們實際上無關緊要，因為所有風險都與 $ S $ 和 $ X $ ，不涉及現金（直至在到期時出售您的複制投資組合以立即支付所要求的金額，不涉及利率）；在這裡，在沒有具體假設的情況下，您確實存在利率風險，並且您的市場總體上是不完整的，這涉及必鬚根據某些參數化**選擇風險中性的度量。**我將嘗試為您提供此類定價問題的一般方法，解釋我在每個步驟中所做的假設。然後，您應該能夠根據您的具體問題調整推理。
首先要說明的是，由於 $ X $ 和 $ S $ 是資產，在任何風險中性測度下，它們的貼現值必須是鞅 $ \mathbb{Q} $ 根據資產定價第一基本定理，如果他們不支付股息。如果他們這樣做了，您可以通過一些股息因子來正常化 $ D_t^{S/X} $ 代表股息的再投資，例如 $ \exp{-\int_0^t{q_s^{S/X} \mathrm{d}s}} $ 如果股息流以速率連續 $ q^{S/X} $ .
現在讓我們假設 $ D_T \equiv 1 $ , 即 $ S $ 和 $ X $ 是非股息支付。因此我們可以這樣寫： $$ \begin{align} & dX_t = r_t X_t dt + \sigma_X X_t dW_t^X \ & dS_t = r_t S_t dt + \sigma_S S_t dW_t^S = r_t S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho , dW_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} dW_t^\perp\right) \end{align} $$ 漂移必須是 $ r_t $ 由 FTAP I。請注意，這些動態導致兩者 $ S $ 和 $ X $ 在任何時候都是積極的。
選擇特定的風險中性措施 $ \mathbb{Q} $ ，您的衍生品的相應價格為 $$ V_0 = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} X_T \left(K - S_T\right)^+\right] $$ 現在，請注意以下幾點：因為 $ X e^{-\int_0^\cdot{r_t\mathrm{d}t}} $ 是鞅 $ \mathbb{Q} $ , $ \frac{X_T}{X_0} e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} $ 是一個期望值為 1 的正隨機變數。因此它可以定義一個新的機率 $ \mathbb{Q}^X $ 相當於 $ \mathbb{Q} $ 經過 $$ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}^X}{\mathrm{d}\mathbb{Q}} := \frac{X_T}{X_0} e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} $$
這對應於從無風險資產改變計價 $ e^{\int_0^\cdot{r_t \mathrm{d}t}} $ 至 $ X $ ，因此我們的符號。然後我們有 $$ \begin{align} V_0 & = X_0 \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} \frac{X_T}{X_0} \left(K - S_T\right)^+\right] \ & = X_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^X} \left[\left(K - S_T\right)^+\right] \end{align} $$ 現在，你所要做的就是確定分佈 $ S_T $ 在下面 $ \mathbb{Q}^X $ . 為此，您必須計算由機率變化引起的漂移變化。Girsanov 定理允許你這樣做。使用 Itō 引理（或等效地，求解 SDE $ X $ 我在上面給出的），你有那個 $$ X_T = X_0 e^{\int_0^T{\left(r_t - \frac{\sigma_X^2}{2}\right)\mathrm{d}t} + \int_0^T{\sigma_X\mathrm{d}W_t^X}} $$ 因此 $$ e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} \frac{X_T}{X_0} = e^{- \frac{\sigma_X^2}{2}T + \sigma_X W_T^X} $$ 根據吉爾薩諾夫定理， $$ \widehat{W}_t^X := W_t^X - \sigma_X t $$ 是下的布朗運動 $ \mathbb{Q}^X $ . 下的動態 $ \mathbb{Q}^X $ 因此是 $$ \begin{align} dX_t & = \left(r_t + \sigma_X^2\right) X_t dt + \sigma_X X_t d\widehat{W}_t^X \ dS_t & = r_t S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho dW_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} d W_t^\perp\right) \ & = \left(r_t + \rho \sigma_X \sigma_S\right) S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho d\widehat{W}_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} d W_t^\perp\right) \ & = \left(r_t + \rho \sigma_X \sigma_S\right) S_t dt + \sigma_S S_t d\widehat{W}_t^S \end{align} $$ 因為 $ W^\perp $ 獨立於 $ W^X $ ，它也是一個 $ \mathbb{Q}^X $ -布朗運動獨立於 $ \widehat{W}^S $ ， 因此 $ d \langle \widehat{W}^X, \widehat{W}^S\rangle_t = \rho , dt $ .
假設費率是確定性的，您有兩個隨機性來源（ $ W^S $ 和 $ W^X $ ) 和兩個資產來對沖它們：你的市場是完整的，複製價格是唯一風險中性測度下的預期 $ \mathbb{Q} $ ，或在等效的鞅測度下 $ \mathbb{Q}^X $ . 通過觀察我們剛剛推導出的動力學導致了對數正態分佈 $ S_T $ 在下面 $ \mathbb{Q}^X $ ，您可以使用廣義的 Black 公式（即 $ \mathbb{E} \left[\left(K - X\right)^+\right] $ 和 $ X $ 對數正態分佈）。
現在，如果 $ D_T^{X/S} \not \equiv 1 $ ， IE $ \mu^{X/S} \neq r_t $ ，問題會很快變得更複雜；值得注意的是，由於您對股息具有隨機性，因此您有股息風險並且您的市場不完整。允許非常簡單地解決問題的一個假設是股息流以確定的速率連續 $ q^{S/X} $ . 那麼，你必然 $ \mu_X = r_t - q_t^X $ 和 $ \mu_S = r_t - q_t^S $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ ，並且擴展很簡單。