使用隱含波動率的股票價格機率
我試圖利用隱含波動率這一事實，但未能提出一種可行的方法來計算機率，有什麼想法嗎？假設一隻股票 $ S_t $ 遵循對數正態模型，2019 年 5 月 29 日股票收盤價為 $ S_0 $ 為 61.5，期限 T=0.4 的期權的隱含波動率為 120%。如果我們假設投資者要求的年回報率為 30%，那麼機率是多少 $ P(40\le S_t \le 55) $
我假設您想要真實世界的機率，因為風險中性機率不是“可能性”意義上的機率。
在現實世界的衡量標準下，我們將 BS 模型下的股票建模為：
$$ X(t)=X(0)+\int^{t}{0}\mu X(h)dh+\int^{t}{0}\sigma X(h)dW(h) $$
如果市場要求 30% 的年回報率，我會將其作為現實世界的回報率 $ \mu $ . 嚴格來說，如果我們處理現實世界的度量，我們也應該採用歷史時間序列估計的波動率，但為了簡單起見，我將在這裡僅採用您的隱含波動率：
$$ X(t)=61.5+\int^{t=0.4}{0}0.3 X(h)dh+\int^{t=0.4}{0} 1.2 X(h)dW(h) = \ = 61.5exp \left( \left[ 0.3 - 0.5* 1.2^2 \right] 0.4 + 1.2 * \sqrt(0.4) Z \right) = \ = 61.5exp\left( -0.456+0.759Z\right) $$
所以：
$$ \mathbb{P}\left( 40<X_t<55\right)=\mathbb{P}\left(X_t<55\right)- \mathbb{P}\left( X_t<40\right) $$
現在：
$$ \mathbb{P}\left(X_t<55\right)=\mathbb{P}\left(61.5exp\left( -0.456+0.759Z\right)<55\right) = \= \mathbb{P}\left(ln(61.5) +\left( -0.456+0.759Z\right)<ln(55)\right) = \= \mathbb{P} \left( Z< \frac{ln(\frac{55}{61.5})+0.456)}{0.759} \right) $$
你可以為 $ \mathbb{P}\left( X_t<40\right) $ ，自己算出數字，你應該會得到答案。
重要提示：以上只是為了展示如何通過盲目地將數字插入 BS 模型來計算現實世界的機率。但是，請注意，如果你想要一個真正的股票在特定範圍內結束的機率，BS模型框架並不真正適合這種情況。每個市場代理人都會有他或她對世界狀態的（貝氏）觀點，並且每個市場代理人都會以不同的方式看待機率。甚至用於計算機率的模型選擇本身也是貝氏選擇。這是一個非常有趣的問題，但它更像是一個“存在主義”問題，而不是“實際”問題。高頻算法交易者總是試圖估計機率。他們都使用不同的模型，不同的輸入數據等……