證明垂直擴展條件是有界的
我需要通過不使用套利條件來證明垂直價差是有界的。
0 > (C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 ) >-e^(-r*T )我在下面記錄了我的解決方案。您能否回顧一下並評論我的方法。
為了證明垂直傳播條件，我使用了以下不等式，它是期權價值的下限：
C ≥ S(0) − Ke^(−rT)垂直價差是通過做多 (1) 執行價 (K1) 和做空 (-1) 執行價 (K2) 來創建的，其中 K2 ≥ K1。
C(T,K1) ≥ S(0) – K1e^(−rT) 和 C(T,K2) ≥ S(0) – K2e^(−rT) ，當我計算看漲價格的差異時，我得到：
C(T,K1) - C(T,K2) ≥ K2e^(−rT) - K1e^(−rT) --(1)C(T,K1) - C(T,K2) ≥ e^(−rT)* (K2 - K1)，當 K2 ≥ K1 時，我得到：
C(T,K1) - C(T,K2) ≥ 0 --(2)如果我重新排列以下不等式 K2 ≥ K1 ，我得到：
K1 - K2 ≤ 0 -- (3)如果我將 (2) 除以 (3)，我得到：
(C(T,K_1 )- C(T,K_2))/(K1- K2 ) <0 --(4)因為正分子除以負分子得到負數。你可能會注意到我已經從不等式中刪除了等於符號。原因是，當 K1= K2 時，分子等於 0，分母也等於 0，導致解的不確定狀態。(4) 滿足不等式的上界。通過重新排列不等式 (1)，我得到：
C(T,K1 )-C(T,K2 )≥ -e^(-rT ) (K1- K2)將上述不等式除以 (3.3)，我得到：
(C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 ) >-e^((-r)T ) --(5)結合不等式 (4) 和 (5)，得到所需的垂直擴展條件
0 > (C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 ) >-e^((-rT )
我們想證明
$$ \begin{equation} 0 \leq C_0 \left( K_2 \right) - C_0 \left( K_1 \right) \leq e^{-r T} \left( K_2 - K_1 \right) \end{equation} $$ 在哪裡 $ K_1 < K_2 $ . 目前我們不擔心嚴格的不平等，但我稍後會談到這一點。我們還需要假設標的資產（例如股息、回購……）沒有持有回報。
為了顯示第一個不等式，只需注意投資組合 $ C_0 \left( K_2 \right) - C_0 \left( K_1 \right) $ 到期時有非負收益
$$ \begin{equation} V_T = \begin{cases} 0 & \text{if } S_T < K_1\ S_T - K_1 & \text{if } S_T \in \left( K_1, K_2 \right)\ K_2 - K_1 & \text{otherwise} \end{cases}. \end{equation} $$ 因此，如果該投資組合的目前值為負數，我們就會進行“免費午餐”類型的套利。
對於第二個不等式，請注意，收益從上面定義為 $ \Delta = K_2 - K_1 $ . 如果目前值 $ V_0 $ 的傳播大於 $ e^{-r T} \Delta $ ，那麼我們現在就將其出售，將收益投資於無風險資產，其終值嚴格高於 $ \Delta $ 對於最多的義務 $ \Delta $ . 同樣，這是一頓免費的午餐。
關於嚴格不等式：在第一種情況下，如果 $ V_0 = 0 $ 並且有一個非零機率 $ S_T > K_1 $ ，那麼我們就有了“免費彩票”套利。即，您無需為某些東西支付任何費用，而這些東西會給您帶來機率為 1 的非負收益和具有嚴格正機率的嚴格正收益。在第二種情況下，如果機率 $ S_T < K_2 $ 也是非零的，那麼你可以為接收做同樣的論據 $ e^{-r T} \Delta $ 現在為了未來的義務，永遠不會大於 $ \Delta $ 但具有更小的嚴格正機率。